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高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)范文第1篇

書(shū)讀的越多而不加思考，你就會(huì)覺(jué)得你知道得很多;而當(dāng)你讀書(shū)而思考得越多的時(shí)候，你就會(huì)越清楚地看到，你知道得很少。那么接下來(lái)給大家分享一些關(guān)于高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)，希望對(duì)大家有所幫助。

高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)1一.隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件;

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件;

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件S的確定事件;

(4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件;

(5)頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱(chēng)為事件A的概率。

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率

二.概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

(2)若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱(chēng)事件A與事件B互斥;

(3)若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件;

(4)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以

P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性質(zhì)：

1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;

2)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);

3)若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B);

4)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;

(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生;

(3)事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形;

(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;

(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。三.古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

(1)古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。

(2)古典概型的解題步驟;①求出總的基本事件數(shù);

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P(A)=

四.幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

基本概念：(1)幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型;

(2)幾何概型的概率公式：P(A)=;

(3)幾何概型的特點(diǎn)：1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);

2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)2(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。

奇偶性

定義

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)

(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

(3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。

高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)31、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：

①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;

②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)41.輾轉(zhuǎn)相除法是用于求公約數(shù)的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.

2.所謂輾轉(zhuǎn)相法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零，則將較小的數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的除數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的公約數(shù).

3.更相減損術(shù)是一種求兩數(shù)公約數(shù)的方法.其基本過(guò)程是：對(duì)于給定的兩數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)就是所求的公約數(shù).

4.秦九韶算法是一種用于計(jì)算一元二次多項(xiàng)式的值的方法.

5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.

6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿進(jìn)一”，就是k進(jìn)制，進(jìn)制的基數(shù)是k.

7.將進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是：先將進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.

8.將十進(jìn)制數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是：除k取余法.即用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的進(jìn)制數(shù).

重難點(diǎn)突破

1.重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的原理,會(huì)求兩個(gè)數(shù)的公約數(shù);理解秦九韶算法原理，會(huì)求一元多項(xiàng)式的值;會(huì)對(duì)一組數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則進(jìn)行排序;理解進(jìn)位制，能進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.

2.難點(diǎn)：秦九韶算法求一元多項(xiàng)式的值及各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.

3.重難點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法原理、排序方法、進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化方法.

【同步練習(xí)題】

1、在對(duì)16和12求公約數(shù)時(shí)，整個(gè)操作如下：(16，12)(4，12)(4，8)(4，4)，由此可以看出12和16的公約數(shù)是()

A、4B、12C、16D、8

2、下列各組關(guān)于公約數(shù)的說(shuō)法中不正確的是()

A、16和12的公約數(shù)是4B、78和36的公約數(shù)是6

C、85和357的公約數(shù)是34D、105和315的公約數(shù)是105

高中必修三數(shù)學(xué)知識(shí)5總體和樣本

①在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對(duì)象的全體叫做總體。

②把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體。

③把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量。

④為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：x1，x2，....，x-x研究，我們稱(chēng)它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量。

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類(lèi)、排隊(duì)等，完全隨。

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ),高三。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法

①抽簽法

②隨機(jī)數(shù)表法

③計(jì)算機(jī)模擬法

④使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：

①總體變異情況;

②允許誤差范圍;

③概率保證程度。

抽簽法

①給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào);

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)范文第2篇

知識(shí)的確是天空中偉大的太陽(yáng)，它那萬(wàn)道光芒投下了生命，投下了力量。下面小編給大家分享一些高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)11.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)=0(可用于求參數(shù));

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

2.復(fù)合函數(shù)

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱(chēng)性)

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對(duì)稱(chēng)性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;

(3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱(chēng)曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數(shù)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng);

(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng);

點(diǎn)擊查看：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);

(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2的周期函數(shù);

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

(6)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：

(1)A中元素必須都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。

10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：

(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向;二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;

12.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類(lèi)參數(shù)的范圍問(wèn)題;

13.恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數(shù)法;

(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)2奇偶性

注圖：(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù)

1.定義

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)

(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

(3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。

說(shuō)明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。

(分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

2.奇偶函數(shù)圖像的特征：

定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。

f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)(x,y)(-x,-y)

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。

3.奇偶函數(shù)運(yùn)算

(1) .兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).

(2) .兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).

(3) .一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).

(4) .兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

(5) .兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

(6) .一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

定義域

(高中函數(shù)定義)設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f:A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;

值域

名稱(chēng)定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，

(3)函數(shù)單調(diào)性法，

(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數(shù)法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復(fù)合函數(shù)法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。

右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。

(4)a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

(5)顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得

如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。

可以看到：

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2) 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。

(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。

(6) 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)范文第3篇

1.因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也叫作分解因式）。

2.因式分解的方法

初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法、求根公式法、換元法等。

初中所學(xué)習(xí)的因式分解方法是針對(duì)形如x2+（p+q）x+pq這樣的二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一個(gè)字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。與初中相比，只是常數(shù)項(xiàng)還含有字母，方法都是一樣的。

十字相乘法在解題時(shí)是一個(gè)很好用的方法，也很簡(jiǎn)單。這種方法有兩種情況：

（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

這類(lèi)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。

二、不等關(guān)系與不等式的初高中銜接

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)＞、≥、≤、≠連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式。

2.不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)稱(chēng)性：a＞b?圳b＜a

（2）傳遞性：a＞b，b＞c?圳a＞c

（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd

（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）

（6）可開(kāi)方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）

3.兩條常用性質(zhì)

（1）倒數(shù)性質(zhì)：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。

（2）若a＞b＞0，m＞0，則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：■＞■；■＜■（b－m＞0）。

三、一元二次不等式解法的初高中銜接

1.一元二次不等式

一元二次不等式經(jīng)過(guò)變形，標(biāo)準(zhǔn)形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。

2.一元二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的根、一元二次不等式的關(guān)系

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零時(shí)x的取值范圍，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要畫(huà)與之對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像。

3.一元二次不等式解法步驟

（1）化簡(jiǎn)（將不等式化為不等號(hào)右邊為0，左邊的最高次項(xiàng)系數(shù)為正）

（2）首先考慮分解因式；不易分解則判斷，當(dāng)時(shí)解方程（利用求根公式）

（3）畫(huà)圖寫(xiě)解集（能取的根打?qū)嵭狞c(diǎn)，不能去的打空心）

四、絕對(duì)值不等式的初高中銜接

初中知識(shí)回顧：

1.含絕對(duì)值不等式的解法（關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值）

（1）利用絕對(duì)值的定義：（零點(diǎn)分段法）

|x|= x x≥0-x x

（2）利用絕對(duì)值的幾何意義：|x|表示x到原點(diǎn)的距離。

2.知識(shí)拓展

（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)的解法|ax+b|>c?圳ax+b>c或ax+b

（2）|f(x)|>g(x)或|f(x)|g(x)?圳f(x)>g(x)或f(x)

（3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)||g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)范文第4篇

1 “局部”基本不等式

在求多元條件下的最值時(shí)，無(wú)法一次性直接應(yīng)用基本不等式，只能“局部”應(yīng)用.

例1 （2010年四川）設(shè)a>b>0，則a2+1ab+1a（a-b）的最小值為 .

解

a2+1ab+1a（a-b）=a2-ab+ab+1ab+1a（a-b）

=a（a-b）+1a（a-b）+ab+1ab≥2+2=4.

當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=22時(shí)，等號(hào)成立.所以a2+1ab+1a（a-b）的最小值為4.

注 “局部”基本不等式，我們已在文[1]做了歸納與說(shuō)明，這里不再重復(fù).

2 “局部”線性規(guī)劃

在線性規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)或幾何意義不明確或無(wú)法指定時(shí)，不能一次性直接應(yīng)用線性規(guī)劃，只能“局部”應(yīng)用線性規(guī)劃.

例2 已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x-y≤0，

x+y-5≥0，

y-4≤0，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是 .

分析 好多學(xué)生是這樣做的：直接由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max，而（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2≤2（當(dāng)x=y時(shí)，取“=”號(hào)），所以a≥2，即實(shí)數(shù)a的最小值是2.根本用不到題中已知的不等式組，也就是說(shuō)：題中的不等式組是多余條件，這樣的解題肯定是錯(cuò)誤的.也有學(xué)生這樣思考，按理說(shuō)：這應(yīng)該是一道線性規(guī)劃題，我們應(yīng)該通過(guò)可行域來(lái)求出（x+y）2x2+y2max，可這怎么求啊！表達(dá)式（x+y）2x2+y2不具有很明確的代數(shù)或幾何意義，絕大多數(shù)學(xué)生無(wú)法進(jìn)行下去，只有少部分學(xué)生認(rèn)為：（x+y）2x2+y2max=（x+y）2max（x2+y2）min，這樣一來(lái)，（x+y）2max和（x2+y2）min均具備了很好的幾何意義，結(jié)合可行域，可得：（x+y）2max=（2+4）2=36，（x2+y2）min=（53）2+（103）2=1259，所以得到：（x+y）2x2+y2max=361259=324125.實(shí)際上，（x+y）2在點(diǎn)（2，4）處取最大值;而x2+y2在點(diǎn)（53，103）處取最小值，顯然這也是錯(cuò)誤的.

解 由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max.

設(shè)z=yx，則（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2=1+2xy+yx=1+2z+1z.

由線性規(guī)劃知識(shí)易得：z=yx∈[2，4]，z+1zmin=2+12=52，

（x+y）2x2+y2max=1+2z+1zmin=1+45=95.

所以實(shí)數(shù)a的最小值是95，而不是2.原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)閥x∈[2，4] 所以x就不可能等于y，也就是說(shuō)：我們只能得到：a>2，同樣的，我們也只能得到：a>324125.

3 “局部”絕對(duì)值

3.1 “局部”絕對(duì)值函數(shù)

y=f（x）、y=f（x）這兩種函數(shù)已為廣大師生所熟悉，其處理方法可謂是人人皆知.但當(dāng)函數(shù)解析式當(dāng)中局部自變量或局部表達(dá)式含有絕對(duì)值時(shí)，就出現(xiàn)了一種新的函數(shù)，在此，我們把它稱(chēng)之為：“局部”絕對(duì)值函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)很新，有一定的難度，是不少學(xué)生的克星，很難對(duì)付.不用怕，去絕對(duì)值，分段是根本.

例3 （2012年某市模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=kx+1與曲線y=Ox+1xO-Ox-1xO有四個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .

解 易知函數(shù)y=Ox+1xO-Ox-1xO為偶函數(shù)，所以只需在（0，+∞）上研究問(wèn)題，

去絕對(duì)值后，可得：y=2x，0<x<1，

2x，x>1，而直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），結(jié)合圖像易得：當(dāng)直線斜率為0或在（1，+∞）上與曲線相切時(shí)，符合題意，

再結(jié)合曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍是-18，0，-18.

評(píng)析 這里的函數(shù)y=x+1x-x-1x含有兩個(gè)獨(dú)立的絕對(duì)值，如何分段，去絕對(duì)值成為難點(diǎn)，而如能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)為偶函數(shù)的話，那問(wèn)題就不那么棘手了.

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），給出下列4個(gè)命題：

①當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;②當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）是偶函數(shù);③函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng);④當(dāng)b≠0，c≠0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.上述命題中，所有正確命題的個(gè)數(shù)是 .

解 f（x）=x2+bx+c，x≥0，

-x2+bx+c，x<0，而當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=x2，x≥0

-x2，x<0結(jié)合圖像易知①正確;當(dāng)c=0時(shí)，f（-x）=-x-x-bx=-xx-bx=-f（x），為奇函數(shù)，所以②錯(cuò);由f（x）+f（-x）=（xx+bx+c）+（-x-x-bx+c）=2c可得：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)，所以③正確;當(dāng)b≠0，c≠0時(shí)，不妨?。篵=2，c=1，結(jié)合圖像，可得：方程f（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò).所以正確命題共2個(gè).

評(píng)析 很多學(xué)生都怕這種多選類(lèi)的題型，很難做對(duì)，不能出一點(diǎn)差錯(cuò)，每一小問(wèn)都必須很仔細(xì)地去面對(duì).而這里再加入“局部”絕對(duì)值以及兩個(gè)參數(shù)，更增加了此題的“難度”.而由以上解題過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)：實(shí)際上，此題一點(diǎn)都不難，這里，告訴我們一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，在面對(duì)難度最大的④時(shí)，取特殊值可是很快捷的途徑.

例5 （2010年江蘇） 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍;

（2）求f（x）的最小值;

（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞）直接寫(xiě)出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

解 （1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1a<0

a2≥1a≤-1.

（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x2-2ax+a2，f（x）min=f（a），a≥0

f（a3），a<0=2a2，a≥0

2a23，a<0

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2+2ax-a2，f（x）min=f（-a），a≥0

f（a），a<0=-2a2，a≥0

2a2，a<0

綜上f（x）min=-2a2，a≥0，

2a23，a<0.

（3）x∈（a，+∞）時(shí)，h（x）≥1得3x2-2ax+a2-1≥0，Δ=4a2-12（a2-1）=12-8a2.

當(dāng)a≤-62或a≥62時(shí)，Δ≤0，x∈（a，+∞）;

當(dāng)-62<a<62時(shí)，Δ>0，得：

x-a-3-2a23x-a+3-2a23≥0

x>a

討論得：當(dāng)a∈22，62時(shí)，解集為（a，+∞）;

當(dāng)a∈-62，-22時(shí)，解集為：

a，a-3-2a23∪a+3-2a23，+∞;

當(dāng)a∈-22，22時(shí)，解集為：

a+3-2a23，+∞.

評(píng)析 此題是2010年江蘇高考的函數(shù)壓軸題，函數(shù)不僅含“局部”絕對(duì)值，而且分段的那個(gè)點(diǎn)居然是個(gè)動(dòng)點(diǎn).分段后，還要再討論，此題綜合考查了考生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題等多種能力，是一道鍛煉學(xué)生思維能力的好題.

3.2 “局部”絕對(duì)值數(shù)列

由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以在數(shù)列題中，也就自然的出現(xiàn)了“局部”絕對(duì)值.

例6 （2013年某市模擬）已知數(shù)列an=n-16，bn=（-1）nn-15，其中n∈N*.

（1）求滿足an+1=bn的所有正整數(shù)n的集合;

（2）n≠16，求數(shù)列bnan的最大值和最小值;

（3）記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn，求所有滿足S2m=S2n（m<n）的有序整數(shù)對(duì)（m，n）.

解 （1）略.（2）bnan=（-1）nn-15n-16.

（。┑n>16時(shí)，n取偶數(shù)，bnan=n-15n-16=1+1n-16.當(dāng)n=18時(shí)（bnan）max=32，無(wú)最小值.

n取奇數(shù)時(shí)bnan=-1-1n-16，n=17時(shí)bnanmin=-2，無(wú)最大值.

（）當(dāng)n<16時(shí)，bnan=-（-1）n（n-15）n-16.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bnan=-（n-15）n-16=-1-1n-16.

n=14時(shí)，bnanmax=-12;

n=2時(shí)，bnanmin=-1314.

當(dāng)n為奇數(shù)，bnan=n-15n-16=1+1n-16，

n=1，（bnan）max=1-115=1415，

n=15，bnanmin=0.

綜上，bnan最大值為32（n=18），最小值-2（n=17）.

（3）n≤15時(shí)，bn=（-1）n-1（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（16-2k）≥0，n>15時(shí)，bn=（-1）n（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（2k-16）>0，其中a15b15+a16b16=0，所以S16=S14，m=7，n=8.

評(píng)析 此題的條件很是新穎，看上去很簡(jiǎn)單，但實(shí)際做起來(lái)，不怎么輕松，第（2）小題須進(jìn)行2重分類(lèi)討論，而第（3）小題具有很強(qiáng)的技巧性.在此，我們希望此題的出現(xiàn)能引起廣大師生的注意，它可能是一個(gè)大風(fēng)暴的前奏，望大家多加提防.

通過(guò)上述6道例題的求解，我們發(fā)現(xiàn)：在“局部”著眼，在“局部”命題，已在高中數(shù)學(xué)多處出現(xiàn)，此類(lèi)試題以其獨(dú)到的考查角度和方式達(dá)到了非常好的命題效果，很是值得我們廣大師生密切關(guān)注.

參考文獻(xiàn)

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)范文第5篇

一、努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

1.創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

營(yíng)造和諧的情景是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性的重要手段.教師在教學(xué)過(guò)程中，如果重視培養(yǎng)學(xué)生的情感，創(chuàng)造一個(gè)充滿積極情感的教學(xué)環(huán)境，就能達(dá)到教學(xué)的最佳效果.為此，每節(jié)課教師都應(yīng)以一種積極向上的精神面貌走進(jìn)課堂，用生動(dòng)有趣的語(yǔ)言，輕松愉快的笑容，適度得體的形體動(dòng)作來(lái)營(yíng)造課堂氣氛，把學(xué)生的心牢牢地固定在課堂上.同時(shí)教師還應(yīng)不斷地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生潛在的求知欲，使之自覺(jué)地去思考，從而提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.此外，教師適時(shí)的表?yè)P(yáng)、鼓勵(lì)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)給予肯定的評(píng)價(jià)，也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效手段.

2.讓學(xué)生意識(shí)到自己的進(jìn)步，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到困難時(shí)，如果是通過(guò)自己的努力求得答案，自己概括出定義、規(guī)律、法則等，那么他解決問(wèn)題的積極性將會(huì)越來(lái)越高，而所得到的知識(shí)也將會(huì)更牢固.自己克服的困難越多越大，其學(xué)習(xí)也就越積極.因此，讓學(xué)生意識(shí)到自己的進(jìn)步，學(xué)生就會(huì)在愉悅的情緒中產(chǎn)生一種渴求學(xué)習(xí)的愿望，從而更加積極主動(dòng)地學(xué)習(xí).這就要求教師在教學(xué)中做到，該由學(xué)生自己去探索的知識(shí)，就放手讓他們自己去探索，該由學(xué)生自己獲取的知識(shí)，就盡量讓他們自己去獲取.學(xué)生在探索過(guò)程中思維受阻時(shí)，教師只作適當(dāng)?shù)奶崾竞桶凳?，讓學(xué)生體會(huì)到所學(xué)會(huì)的知識(shí)是自己“發(fā)現(xiàn)”的，自己“創(chuàng)造”出來(lái)的，從而使其體會(huì)到自己的成功和進(jìn)步.這樣，學(xué)生通過(guò)自己的探索和思考而獲得的知識(shí)，理解必然是深刻的.學(xué)生體會(huì)到探索的樂(lè)趣和成果后，將會(huì)更加努力，更加主動(dòng)地學(xué)習(xí).

3.用教師的行為和情感來(lái)影響學(xué)生，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

教學(xué)是師生的共同活動(dòng)，其中包含著情感的交流.教師與學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中逐漸熟悉、親近，進(jìn)而發(fā)展成為朋友.教師的品格，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣，教師的敬業(yè)態(tài)度、責(zé)任感，甚至一言一行，都會(huì)對(duì)學(xué)生良好品格的培養(yǎng)起到潛移默化的作用.學(xué)生往往會(huì)將對(duì)教師的尊敬和喜愛(ài)轉(zhuǎn)化為對(duì)該教師所教學(xué)科的喜愛(ài).師生情感越融洽，學(xué)生就越喜歡老師的課，學(xué)習(xí)該課程的積極性就越高.反之，就會(huì)產(chǎn)生逆反心理，積極性就無(wú)從談起.

二、中差生的轉(zhuǎn)化

1.培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，傳授正確的學(xué)習(xí)方法，提高他們的解題能力

教師在布置作業(yè)時(shí)，要注意難易程度，要注意加強(qiáng)對(duì)差生的輔導(dǎo)、轉(zhuǎn)化，督促他們認(rèn)真完成布置的作業(yè).對(duì)作業(yè)做得較好或作業(yè)有所進(jìn)步的差生，要及時(shí)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì).對(duì)待差生，要放低要求，采取循序漸進(jìn)的原則，諄諄誘導(dǎo)的方法，從起點(diǎn)開(kāi)始，耐心地輔導(dǎo)他們一點(diǎn)一滴地補(bǔ)習(xí)功課，讓他們逐步提高.

大部分差生學(xué)習(xí)被動(dòng)，依賴性強(qiáng).往往對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則死記硬背，不愿動(dòng)腦筋，一遇到問(wèn)題就問(wèn)老師，甚至扔在一邊不管；教師在解答問(wèn)題時(shí)，也要注意啟發(fā)式教學(xué)方式的應(yīng)用，逐步讓他們自己動(dòng)腦，引導(dǎo)他們分析問(wèn)題，解答問(wèn)題.要隨時(shí)糾正他們?cè)诜治鼋獯鹬谐霈F(xiàn)的錯(cuò)誤，逐步培養(yǎng)他們獨(dú)立完成作業(yè)的習(xí)慣.

應(yīng)該用辯證的觀點(diǎn)教育差生，對(duì)差生不僅要關(guān)心愛(ài)護(hù)和耐心細(xì)致地輔導(dǎo)，而且還要與嚴(yán)格要求相結(jié)合，不少學(xué)生之所以成為差生的一個(gè)很重要的原因就是因?yàn)閷W(xué)習(xí)意志不強(qiáng)，生活懶惰，上課遲到或逃學(xué)，上課思想經(jīng)常不集中、開(kāi)小差，作業(yè)不及時(shí)完成或抄襲，根本沒(méi)有預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)等所造成的.因此教師要特別注意檢查差生的作業(yè)完成情況，在教學(xué)過(guò)程中，要對(duì)他們提出嚴(yán)格的要求，督促他們認(rèn)真學(xué)習(xí).

三、對(duì)教師自身的要求

1.平時(shí)教學(xué)始終貫徹“實(shí)、活、準(zhǔn)、精”的原則

“實(shí)”即實(shí)事求是，從本校、本班、本學(xué)科的實(shí)際出發(fā)，分層次開(kāi)展教學(xué)工作，即因材施教，分類(lèi)推進(jìn).“活”即教學(xué)方法和手段要靈活，就是要盡量采用啟發(fā)式教學(xué)法、點(diǎn)撥法、討論式、圖表法，比較法等多種教學(xué)手段.如平時(shí)對(duì)應(yīng)用題，一般可采用圖表法來(lái)分析題意，列出方程而求解.其次還要教給學(xué)生解題的數(shù)學(xué)思想方法，重視能力培養(yǎng)，加強(qiáng)“聯(lián)想、想象、轉(zhuǎn)化”思維訓(xùn)練.如今年中考最后“壓卷題”學(xué)生做得較好，這都與平時(shí)注重?cái)?shù)形思想的強(qiáng)化分不開(kāi)的.“準(zhǔn)”即以大綱和教材為準(zhǔn).以課本為主線，嚴(yán)格按照大綱要求，狠抓雙基、重視訓(xùn)練，同時(shí)，還強(qiáng)調(diào)學(xué)生解題的規(guī)范化和準(zhǔn)確率，把這個(gè)“準(zhǔn)”字滲透到日常的教學(xué)和練習(xí)中去.“精”即要做到精選、精講、精練、精評(píng).不搞題海戰(zhàn)術(shù)，但不練習(xí)、不強(qiáng)化也不行，這就要認(rèn)真?zhèn)浣滩摹⒔谭?、學(xué)法，使之有的放矢，事半功倍.

2.把握方向，立足實(shí)際，穩(wěn)步扎實(shí)地分階段地進(jìn)行復(fù)習(xí)

緊扣《大綱》與《考綱》，明確復(fù)習(xí)目標(biāo)，合理安排“三輪”總復(fù)習(xí).

①第一輪復(fù)習(xí)雙基進(jìn)行歸納復(fù)習(xí)，全面鞏固知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)系統(tǒng)歸納，適當(dāng)強(qiáng)化“雙基”訓(xùn)練，力爭(zhēng)后進(jìn)生“脫貧”.

②第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，系統(tǒng)梳理各單元知識(shí)、綜合訓(xùn)練，做到重點(diǎn)問(wèn)題重點(diǎn)練，難點(diǎn)問(wèn)題分層練，易混問(wèn)題對(duì)比練，克服定勢(shì)靈活練.注意一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維，多題一解培養(yǎng)化歸思維.

③第三輪緊扣“重點(diǎn)”，力求突破.如何解好最后二道題，是本科成績(jī)好壞之關(guān)鍵.因此，需掌握解題方法、解題規(guī)律的解剖，聯(lián)想、數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想方法的訓(xùn)練.

實(shí)踐證明在教學(xué)中注意采用上述方法對(duì)大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有極大的幫助.這就是我們的做法和體會(huì)，尚有欠缺，望得到大家的指點(diǎn)，更進(jìn)一步提高本人的教學(xué)水平.

初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的幾個(gè)著力點(diǎn)

江蘇省蘇州市吳中區(qū)長(zhǎng)橋中學(xué)215128蔡曙英

在新課程“有效教學(xué)”的理念下，要求教師認(rèn)真分析教材和教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，不斷積累和掌握有效教學(xué)的策略.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐就如何提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性談幾點(diǎn)筆者的看法，探索提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的方法.

一、改進(jìn)觀念，以生為本

意識(shí)決定行為.傳統(tǒng)的教學(xué)觀念不能很好地滿足學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的需求，要想提升教學(xué)效果，首先就必須改進(jìn)我們的觀念，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)亦不能例外.初中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重哪些觀念的改變呢？筆者認(rèn)為必須改變“師本位”陳舊觀念，確立學(xué)生的主體性地位.

“以生為本”是新課程教學(xué)的核心理念.我們要改變傳統(tǒng)的“師本位”教學(xué)觀念，從傳統(tǒng)的注重知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)法指導(dǎo).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,教師的作用主要在于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和探究的積極性，滲透數(shù)學(xué)思想方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)宏觀調(diào)控學(xué)生的探究方向，參與到學(xué)生的探究活動(dòng)中去，幫助學(xué)生順利完成知識(shí)探究，陪同學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想.

二、細(xì)致地分析教材

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.備課是上好一節(jié)課的基礎(chǔ)，目前的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)如何備課呢？是不是簡(jiǎn)單地選擇例題讓學(xué)生在接觸概念后就大規(guī)模訓(xùn)練呢？這樣的做法顯然是錯(cuò)誤的.備課應(yīng)該就教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的具體學(xué)情進(jìn)行分析，教材分析的過(guò)程是找概念間聯(lián)系的過(guò)程.分析教材是教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，是完成教學(xué)設(shè)計(jì)必不可少的環(huán)節(jié)，細(xì)致地分析教材的構(gòu)架，涉及到哪幾部分內(nèi)容，教材中的幾個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的目的是怎樣的，涉及到什么數(shù)學(xué)思想.

例如，勾股定理是蘇科版八年級(jí)上的一節(jié)內(nèi)容.教材的重點(diǎn)內(nèi)容有兩個(gè)方面：(1)認(rèn)識(shí)勾股定理；(2)應(yīng)用勾股定理解決生活中簡(jiǎn)單的問(wèn)題.教材將這2個(gè)方面的內(nèi)容分了4個(gè)部分，構(gòu)成鏈?zhǔn)降闹R(shí)結(jié)構(gòu)，有序鋪開(kāi).教材從一枚郵票的設(shè)計(jì)導(dǎo)入問(wèn)題，激活學(xué)生的思維；接著安排一個(gè)探究活動(dòng)和一個(gè)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)獲得的過(guò)程;最后設(shè)置簡(jiǎn)單的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.

這節(jié)課涉及到的核心數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化法.

(1)轉(zhuǎn)換的思想.每節(jié)數(shù)學(xué)課都應(yīng)該有數(shù)學(xué)味，應(yīng)該富含數(shù)學(xué)思想和方法.勾股定理這節(jié)課，在郵票的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察和發(fā)現(xiàn)三角形邊長(zhǎng)與正方形面積存在的數(shù)學(xué)關(guān)系.從數(shù)學(xué)關(guān)系出發(fā)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探究面積的數(shù)量關(guān)系間接得到邊的數(shù)量關(guān)系.

此外，探索圖1中三個(gè)正方形的面積關(guān)系，這里面涉及到的也是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，借助于“割”或“補(bǔ)”，將“不規(guī)則”圖形轉(zhuǎn)化為“規(guī)則”圖形進(jìn)行面積關(guān)系的計(jì)算，同時(shí)也滲透了整體和局部的意識(shí).

(2)數(shù)形結(jié)合的思想.發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊關(guān)系是本節(jié)課的重點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的探究、討論和交流，學(xué)生自主得到結(jié)論――勾股定理，這一過(guò)程從圖形出發(fā)，由數(shù)到形，再?gòu)膱D形聯(lián)想到數(shù)量關(guān)系，整個(gè)過(guò)程建立在觀察、猜想、交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生的主動(dòng)性得到很好的發(fā)揮.

(3)滲透方程的思想.在教材最后一個(gè)環(huán)節(jié)，知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，就一個(gè)具體的三角形，已知兩邊求第三邊.這個(gè)問(wèn)題的思考實(shí)際上就是從勾股定理出發(fā)，結(jié)合已知條件建立方程，求出未知量.在簡(jiǎn)單運(yùn)用環(huán)節(jié)，應(yīng)從實(shí)際生活出發(fā)，將原始數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象為直角三角形模型.

三、注重情境創(chuàng)設(shè)

傳統(tǒng)的教學(xué)模式，學(xué)生類(lèi)似于知識(shí)收納箱，處于被動(dòng)接受知識(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)于為什么會(huì)想到這樣去做，又為什么要這樣做，全然不知，自然也就無(wú)法獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.從生物學(xué)史的發(fā)展來(lái)看，任何一個(gè)知識(shí)、方法都是科學(xué)家在實(shí)踐中觀察、分析、總結(jié)產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，其本身就具有一個(gè)“探究”的過(guò)程.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能讓學(xué)生回復(fù)到科學(xué)家從無(wú)到有的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，那個(gè)太漫長(zhǎng)了.不過(guò)我們應(yīng)該創(chuàng)設(shè)科學(xué)的問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出假設(shè)、實(shí)驗(yàn)探究，在互動(dòng)探究的過(guò)程中接近主要的知識(shí)及其所包含的科學(xué)元素、科學(xué)精神.同時(shí)自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程能夠有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀三維教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“有理數(shù)的乘法”這節(jié)知識(shí)內(nèi)容時(shí)，筆者為了避免教學(xué)干巴巴的，過(guò)于呆板，因此借助于電腦設(shè)置了一個(gè)情境：“螞蟻在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)”，借此引導(dǎo)學(xué)生感悟“有理數(shù)乘法法則”.學(xué)生在輕松的情境中理解了數(shù)學(xué)概念.

有時(shí)候?qū)W生在解決問(wèn)題時(shí)，有可能思維卡殼，這個(gè)時(shí)候也需要我們老師適當(dāng)?shù)刈穯?wèn)，設(shè)置臺(tái)階讓學(xué)生的思維拾級(jí)而上.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“二次根式”時(shí)，有這樣一題.

例1已知實(shí)數(shù)x、y滿足條件：y=1-2x+2x-1-3，試求xy的值.

這道題讓相當(dāng)一部分學(xué)生感覺(jué)到一籌莫展，思維卡殼了怎么辦？直接灌輸正確的答案肯定是不行的，為此，筆者再次追加問(wèn)題，設(shè)置情境，幫助學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題.

追問(wèn)1：怎么就能解出xy的值？

追問(wèn)2：要求x、y兩個(gè)未知量，一個(gè)方程夠不夠，如何解決？

通過(guò)這個(gè)點(diǎn)撥，學(xué)生很自然地去思考從這個(gè)等式中有沒(méi)有其他方程可以挖掘.細(xì)心觀察的話，就可以看出兩個(gè)根式下的代數(shù)式互為相反數(shù)，加上又都在根號(hào)下，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，從而建立不等式組，如此將學(xué)生的思維帶上路.學(xué)生能夠求出x，繼而求出y，求出xy.

四、注重知識(shí)的延展性

“溫故而知新，可以為師矣.”初中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中必須分析學(xué)生學(xué)了哪些知識(shí)，這些知識(shí)與新知識(shí)有哪些聯(lián)系，科學(xué)設(shè)置情境引導(dǎo)學(xué)生聯(lián) 想、引伸，做到溫故而知新，發(fā)現(xiàn)、探究新舊知識(shí)之間的聯(lián)系以及它們間的結(jié)合點(diǎn)，使得對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)做到有的放矢，比較容易地抓住學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，突破其難點(diǎn)，有序構(gòu)建出整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系與結(jié)構(gòu).在教學(xué)過(guò)程中，設(shè)置的例題要具有啟發(fā)性，學(xué)生通過(guò)思考能夠有效聯(lián)系原有的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.

例如，在和學(xué)生學(xué)習(xí)“二次函數(shù)解析式”的求解方法時(shí)，筆者選擇了如下一題.

例2一條拋物線y=ax2+bx+c，經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（12,0），且已知拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，試求出該拋物線的解析式.

分析這道題的解法很多，如何更為有效激發(fā)學(xué)生的思維，筆者嘗試著要求學(xué)生自己提出與解題相關(guān)的問(wèn)題，從學(xué)生的問(wèn)題設(shè)計(jì)來(lái)看，主要有如下幾個(gè)：

設(shè)問(wèn)1：如果用三點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+bx+c，如何來(lái)確定解析式中的a、b、c的值？

設(shè)問(wèn)2：如果用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，如何確定對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)的坐標(biāo)？

設(shè)問(wèn)3：如果用兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，則x1、x2分別是多少？

除了激發(fā)學(xué)生去想解決問(wèn)題有哪些方法外，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生思維的練習(xí)題要注意變式訓(xùn)練，確保學(xué)生學(xué)到的知識(shí)具有可拓展性.

五、關(guān)注學(xué)生思維過(guò)程

學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是其真實(shí)的思維過(guò)程.我們要關(guān)注過(guò)程，而不要一味的要求學(xué)生得到正確的結(jié)果.在出現(xiàn)錯(cuò)解時(shí)，要分析出錯(cuò)的原因，在此基礎(chǔ)上再給學(xué)生呈現(xiàn)正確的解答，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和比較，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的深化.

例3已知ABC為等腰三角形，AB=AC，且AB的垂直平分線與AC所在的直線相交成50°的銳角，試求∠B多大.

典型錯(cuò)解學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形如圖2所示，因?yàn)椤?=50°，MNAB，所以∠A=40°.因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C=12(180°-40°)=70°.

錯(cuò)因分析學(xué)生在解題中，忽視了ABC頂角∠A可能為銳角，也可能為鈍角，所以除了圖2的這種幾何圖形外，應(yīng)該還有幾何圖形如圖3所示，學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，對(duì)幾何圖形不惟一性的忽視導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

正解當(dāng)∠A為銳角時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形如圖2所示.

因?yàn)椤?=50°，MNAB，所以∠A=40°.因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C=12(180°-40°)=70°.

當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形如圖3所示.

因?yàn)椤?=50°，MNAB，所以∠A=140°.因?yàn)锳B=AC,

所以∠B=∠C=12(180°-140°)=20°.