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高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文第1篇

理解：

（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性。

如：二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)。

（2）有的函數(shù)在某區(qū)間上可能有單調(diào)性，也可能沒(méi)有單調(diào)性。

如：函數(shù)y=x+|x|在區(qū)間（-∞，0]上沒(méi)有單調(diào)性，而在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)。

（3）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來(lái)討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要先求出函數(shù)的定義域。

（4）函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2有三個(gè)特征：一是任意性，二是有大小即x1>x2，三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，三者缺一不可。

（5）因?yàn)槎x是充要性命題，即f（x1） >f（x2）? x1>x2，可以“互逆互推”。

（6）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，所以，要受到區(qū)間的限制。當(dāng)在不同的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性時(shí)，這些區(qū)間是不能用“∪”并在一起的。

如：函數(shù)f（x）= 在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數(shù)，但是不能說(shuō)它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)。

（7）有的函數(shù)不具備單調(diào)性。

如：y=x+3，x∈Z或常函數(shù)y=9， x∈R。

（8）書(shū)寫(xiě)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)的開(kāi)或閉沒(méi)有嚴(yán)格的規(guī)定。習(xí)慣上，若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)有意義，則寫(xiě)成閉區(qū)間，當(dāng)然寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間也可以；若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)沒(méi)有意義，則必須寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間。

如：函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，也可以寫(xiě)成函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)。但是函數(shù)f（x）= 的單調(diào)遞減區(qū)間必須也只能寫(xiě)成（-∞，0）和（0，+∞）。

規(guī)律：

（1）函數(shù)y= f（x）與函數(shù) y= - f（x）的單調(diào)性相反。

（2）函數(shù)y= f（x）與函數(shù) y= f（x）+C的單調(diào)性相同。

（3）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y= f（x）與函數(shù) y= af（x）的單調(diào)性相同；當(dāng)a

（4）當(dāng)f（x）≥0時(shí)，y= f（x）與函數(shù) y=、y=[ f（x）]2的單調(diào)性相同。

（5）當(dāng)f（x）恒為正或恒為負(fù)時(shí)函數(shù)y= f（x）與y= 的單調(diào)性相反。

（6）在公共區(qū)間上，若f（x） >0、g（x）>0，且f（x） 、g（x）都是增（減）函數(shù)，則y= f（x） g（x）是增（減）函數(shù)。在公共區(qū)間上，若f（x）

（7）在公共區(qū)間上，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)。

（8）若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上同增或同減，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上一增一減，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]為減函數(shù)，即“同增異減”。

（9）若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，，b]上有最小值f（a），最大值 f（b）。若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，，b]上是減函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，，b]上有最小值f（b），最大值f（a）。

（10）抽象函數(shù)的單調(diào)性一般使用定義來(lái)判斷和證明。

應(yīng)用：

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值得大小。

如：已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f（2+t）=f（2-t），試比較f（1）、 f（2）、 f（4）的大小。

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。解決本題的關(guān)鍵是弄懂f（2+t）=f（2-t）所表達(dá)的意思：它表示2加t或減t，函數(shù)值不變，即x=2是這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸。故f（1） =f（3），而函數(shù)f（x）=x2+bx+c開(kāi)口向上，且在[2，+∞）上是增函數(shù)，即f（2）

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。如：函數(shù)f（x）= 在[1，∞）上對(duì)任意的x有f（x） >0恒成立，求a的取值范圍。

解：在區(qū)間[1，∞）上，f（x）= >0恒成立，等價(jià)于x2+2x+a>0恒成立。

設(shè)y=x2+2x+a且x∈[1，∞），該函數(shù)y=x2+2x+a在[1，∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)y（min）=3+a，

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文第2篇

關(guān)鍵詞：提高；興趣；挖掘；潛能；控制；成績(jī)；下降

【中圖分類號(hào)】G635.1

高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多、抽象性、理論性強(qiáng)，很多初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績(jī)升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，有相當(dāng)一部分人的數(shù)學(xué)不及格，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極分化，少數(shù)學(xué)生甚至對(duì)學(xué)習(xí)失去了信心。前幾年，不少學(xué)校受高考指揮棒的影響，只注重升學(xué)率而忽視了合格率?，F(xiàn)在高中實(shí)行會(huì)考制，上述問(wèn)題引起了各校足夠的重視，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)整體水平得到了提高。本文主要談?wù)勍诰驅(qū)W生思維潛能，控制高一數(shù)學(xué)成績(jī)的下降的策略。

一、高一數(shù)學(xué)成績(jī)下降的原因分析

1.初、高中數(shù)學(xué)教材間梯度過(guò)大

在初中教材中，往往偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算，缺少對(duì)概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，如函數(shù)的定義、三角函數(shù)的定義就是如此；對(duì)不少數(shù)學(xué)定理沒(méi)有嚴(yán)格論證?；蛴霉硇问浇o出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的。教材坡度較緩，直觀性強(qiáng)，對(duì)每一個(gè)概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等代數(shù)知識(shí)，緊接著就是冪函數(shù)的分類問(wèn)題（在冪函數(shù)中，由于指數(shù)不同，具有不同的性質(zhì)和圖像）。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個(gè)難點(diǎn)，立體幾何對(duì)空間想象能力的要求又很高，教材概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來(lái)相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)，這些都是高一數(shù)學(xué)成績(jī)下降的客觀原因。

2.高一新生普遍不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法

在一次高一召開(kāi)的學(xué)生座談會(huì)上，同學(xué)們普遍反映數(shù)學(xué)課能聽(tīng)懂但作業(yè)不會(huì)做，不少學(xué)生說(shuō)，平時(shí)自認(rèn)為學(xué)得不錯(cuò)，考試成績(jī)就是上不去。帶著這些問(wèn)題我多次聽(tīng)了初、高中數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)，從中發(fā)現(xiàn)初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑板表演的機(jī)會(huì)相當(dāng)多，為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，重點(diǎn)題目反復(fù)做過(guò)多次，而高中教師在授課時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的難度來(lái)對(duì)待高一教學(xué)，因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過(guò)渡過(guò)程，致使高中新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。

3.高一學(xué)生的學(xué)習(xí)方法還停留在初中階段

高一學(xué)生在初中三年已形成了特定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣，他們上課注意聽(tīng)講，盡力完成老師布置的作業(yè)，但課堂上滿足于聽(tīng)，沒(méi)有做筆記的習(xí)慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動(dòng)腦子思考，而是希望老師講解整個(gè)解題過(guò)程；不會(huì)科學(xué)地安排時(shí)間，缺乏自學(xué)、看書(shū)的能力，還有些學(xué)生考上高中后，認(rèn)為可以松口氣了，放松了對(duì)自己的要求，上述的學(xué)習(xí)方法，不適應(yīng)高中階段的正常學(xué)習(xí)。

二、控制高一數(shù)學(xué)成績(jī)下降的對(duì)策

1.課前調(diào)動(dòng)學(xué)生求知欲

求知欲是人們思考研究問(wèn)題的內(nèi)在動(dòng)力。讓數(shù)學(xué)從高度抽象、極其枯燥的金字塔中解放出來(lái)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)有趣具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境，就可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望和潛能。例如，在教學(xué)概率一章時(shí)，我做了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，第一，我斷言班里肯定有生日相同的學(xué)生，提前讓全班學(xué)生在教室的電腦里輸入自己的生日，上課時(shí)當(dāng)眾打開(kāi)，讓同學(xué)們親眼看到出現(xiàn)了幾對(duì)生日相同的學(xué)生，告訴他們這幾乎是個(gè)必然結(jié)果。再比如，在學(xué)習(xí)利用不等式求最值時(shí)，通過(guò)對(duì)易拉罐的觀察和測(cè)量得出結(jié)果。易拉罐的形狀都是圓柱形，而且高與直徑比大約是2：1.為什么要如此設(shè)計(jì)呢？與生活如此貼近，學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈求知欲。

2.課中提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

1）數(shù)學(xué)史融入課堂。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“興趣是最好的老師。”借助數(shù)學(xué)史，名人逸事，數(shù)學(xué)典故是培養(yǎng)學(xué)生興趣的第一媒介。例如在《導(dǎo)數(shù)》一章之初，我就講到1687年牛頓從研究運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度入手引出導(dǎo)數(shù)概念，而1684年萊布尼茨由研究曲線的切線問(wèn)題引出導(dǎo)數(shù)的概念，二人分別獨(dú)立研究，不謀而合，學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣。

2）文學(xué)魅力融入課堂。好多數(shù)學(xué)公式枯燥難以記憶，數(shù)學(xué)概念抽象難以理解，我嘗試用詩(shī)意的語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)概念，用著名詩(shī)句闡述圖像特征，用自編口訣幫助記憶公式，起到很好效果。比如，用三部曲概括證明單調(diào)性的步驟：在區(qū)間找代表，函數(shù)值作比較，通過(guò)討論定大小。用詩(shī)句“上窮碧落下黃泉，兩處茫茫皆不見(jiàn)”刻畫(huà)正切函數(shù)圖像的值域，用“京口瓜州一水間，無(wú)緣對(duì)面手難牽”形容它的周期性和定義域。把對(duì)數(shù)函數(shù)圖像形象地分為“風(fēng)吹麥”型和“風(fēng)擺柳”型，用“正弦半角要求根，竹竿釣魚(yú)二人分”口訣幫助記憶半角正弦公式等等，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚興趣。牢固掌握了所學(xué)知識(shí)。

3）多媒體輔助教學(xué)。多媒體可以提供五彩繽紛的富有吸引力的動(dòng)態(tài)圖像特征，直觀演示性質(zhì)。例如講y=Asin（ωx+Φ）圖像時(shí)借助多媒體演示A、ω、Φ中的變化，可以短時(shí)間內(nèi)列舉大量例子，觀察規(guī)律。再如線性規(guī)劃一節(jié)，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的移動(dòng)，準(zhǔn)確找到最優(yōu)解，尤其是利用網(wǎng)絡(luò)，找整數(shù)解，學(xué)生看得非常清楚、明白，也對(duì)相應(yīng)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣。

4）課堂中給學(xué)生創(chuàng)造性嘗試的機(jī)會(huì)和體驗(yàn)。學(xué)生不是接受的“容器”，而是可以點(diǎn)燃的“火把”。輕松活潑的課堂氣氛和師生關(guān)系，是點(diǎn)燃的“火把”最適宜的火種。對(duì)于學(xué)生富有創(chuàng)意，別出心裁的解題給予充分的肯定，讓學(xué)生意識(shí)到自己內(nèi)在的無(wú)窮力量，也從老師的肯定中體驗(yàn)到創(chuàng)造和成功的樂(lè)趣。

三、多種教學(xué)形式，挖掘潛能

1.鍛煉自學(xué)能力。自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能發(fā)現(xiàn)重點(diǎn)，難點(diǎn)，減少聽(tīng)課過(guò)程中的盲目性，有助于提高學(xué)生的思維能力和概括總結(jié)能力。

2.組織課堂討論。這樣培養(yǎng)的學(xué)生敢于提問(wèn)題、敢于批判、敢于質(zhì)疑、思維敏捷。不受老師講解的束縛?？蔀榘l(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部環(huán)境。

3.適當(dāng)進(jìn)行“一題多解”“一題多變”“一法多用”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文第3篇

一、“玩”數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)

1. 調(diào)皮的集合

“集合”是高中數(shù)學(xué)研究的一個(gè)起點(diǎn)，“集合”有點(diǎn)調(diào)皮，喜歡和學(xué)生玩抓迷藏，所以，你需用心地體會(huì)。例如比較0，0，？I或x|y=logx，y|y=logx，（x，y）|y=logx的區(qū)別和聯(lián)系等等，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己樂(lè)在其中，玩得不亦樂(lè)乎。

2. 有趣的推理

數(shù)學(xué)的解題過(guò)程和判斷過(guò)程就是一個(gè)推理的過(guò)程，讓學(xué)生們當(dāng)福爾摩斯，他們樂(lè)意。從簡(jiǎn)單入手，集合是N自然數(shù)集，說(shuō)“集合N中最小的數(shù)是1”對(duì)不對(duì)？“若-a不屬于N，則a屬于N”對(duì)不對(duì)？“若a∈N，b∈N，則a+b的最小值為2”對(duì)不對(duì)？課堂上通過(guò)不斷拋出問(wèn)題給學(xué)生們思考及快速反應(yīng)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生們學(xué)習(xí)的興趣，課堂學(xué)習(xí)氣氛活躍。

二、“玩”數(shù)學(xué)的美感

函數(shù)是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的紐帶，高一數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，既是夯實(shí)基礎(chǔ)，又是為高二、高三的學(xué)習(xí)做鋪墊，而函數(shù)的邏輯性強(qiáng)，抽象思維能力要求高，特別是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等的綜合題型，更是考察思維的一個(gè)點(diǎn)，學(xué)生們對(duì)函數(shù)往往是怕了又怕，所以，引導(dǎo)學(xué)生欣然接受函數(shù)，喜歡函數(shù)，樂(lè)于學(xué)習(xí)函數(shù)，“玩”依然是好主意。在學(xué)函數(shù)部分，一定要引導(dǎo)學(xué)生們畫(huà)圖，從分段函數(shù)、二次函數(shù)到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，并在學(xué)生們動(dòng)手畫(huà)圖的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、思維美、對(duì)稱美。美是學(xué)生們心中的追求和向往，所以，引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)グl(fā)現(xiàn)美和創(chuàng)造美，數(shù)學(xué)課堂更煥發(fā)出生機(jī)和活力。

三、“玩”數(shù)學(xué)小故事

我們動(dòng)員學(xué)生和教師一起收集有關(guān)數(shù)學(xué)的小故事，由學(xué)生或教師講解，調(diào)起了學(xué)生們的好奇心，為課程的引入起到鋪墊作用。我們講國(guó)王獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋發(fā)明者的故事;講富蘭克林的遺囑等。學(xué)生們來(lái)了興趣，自然而然愿意投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

四、“玩”數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生近距離接觸社會(huì)生活，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)用性和服務(wù)功能的好窗口，并展示了數(shù)學(xué)的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)二分法時(shí)，我們開(kāi)展了“猜價(jià)格”競(jìng)技游戲，教師給出上限和下限，看學(xué)生們誰(shuí)能最快猜出最接近的價(jià)格;開(kāi)展“好幫手”活動(dòng)，汕頭海底電纜的接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)維修，同學(xué)們趕緊想辦法，看看如何高效地找到故障點(diǎn)等等，激發(fā)了學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情和探索欲望，課堂學(xué)習(xí)氛圍濃烈。

五、“玩”速度和激情

學(xué)段測(cè)試前，我們開(kāi)展了“找蟲(chóng)子 增能力 樹(shù)信心”活動(dòng)，目的是鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行階段復(fù)習(xí)，回顧高一數(shù)學(xué)必修一的知識(shí)點(diǎn)，找出自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中導(dǎo)致解題出錯(cuò)的“蟲(chóng)子”，避免出現(xiàn)重蹈覆轍，有利于更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和決心，我們“玩”的不僅是知識(shí)，還有速度和激情！

我們把全班按自然組，自主分成9個(gè)小組，以小組形式進(jìn)行搶答比賽。

比賽采取車(chē)輪戰(zhàn)，每組派一名代表在20秒內(nèi)答題，答題時(shí)分三部分：

①答出正確答案;②講解主要思路;③點(diǎn)明容易出現(xiàn)“蟲(chóng)子”的地方。第一輪和第二輪：選擇題，每組各在20秒內(nèi)答一道題，答對(duì)正確答案得5分，講解得到同學(xué)熱烈掌聲的加5分。沒(méi)能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)給出正確答案或答錯(cuò)的題目，由其他組同學(xué)搶答。第三輪：填空題，每組各在30秒內(nèi)答一道題，答對(duì)得5分，答錯(cuò)扣5分，并由其他組同學(xué)搶答，搶答正確得5分，答錯(cuò)扣5分。學(xué)生們真的蠻拼的，下圖是課堂現(xiàn)場(chǎng)。

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文第4篇

一、掌握映射的角度來(lái)理解函數(shù)的概念

二次函數(shù)，顧名思義即指未知數(shù)的最高次冪為二次的多項(xiàng)式函數(shù)，我們通常表達(dá)為：y=ax2+bx+c(a≠0)。我們可以用集合的概念來(lái)描述二次函數(shù)：由集合定義域A到集合值域B上的映射，書(shū)寫(xiě)為f：AB，也就是讓集合B中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一對(duì)應(yīng)集合A中的元素X，記作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，該式中的ax2+bx+c為對(duì)應(yīng)法則，亦即定義域中的X在值域y中的象。高一數(shù)學(xué)課上我們通過(guò)這樣闡述來(lái)銜接初高中函數(shù)知識(shí)，很容易引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念產(chǎn)生新的理解和認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)繼續(xù)以二次函數(shù)為例引導(dǎo)學(xué)生從以下問(wèn)題展開(kāi)探究奠定基礎(chǔ)：

1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)

由以上概念學(xué)習(xí)我們可以這樣理解：f(x+1)即是自變量為x+1的函數(shù)值。所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+4

2.進(jìn)一步探索，反過(guò)來(lái)研究：設(shè)若f(x+1)=x2－2x+3,怎樣求f(x)

這個(gè)問(wèn)題實(shí)際是探討對(duì)應(yīng)法則，我們可以用可逆思維理解在某對(duì)應(yīng)法則f下，定義域范圍內(nèi)元素x+1的象為x2－4x+1。于是我們可以悟出兩種解答方式：①把反應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式配成x+1的多項(xiàng)式，然后對(duì)號(hào)入座。f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，將x替換x+1得出f(x)=x2－4x+6。②設(shè)置代換：設(shè)x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6

二、用直觀的圖像來(lái)研究和表達(dá)函數(shù)性質(zhì)

1、函數(shù)的單調(diào)性

探討函數(shù)單調(diào)性時(shí)我們必須要求學(xué)生參照定義對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調(diào)性結(jié)論展開(kāi)嚴(yán)格論證，當(dāng)然我們還可以借助比較直觀的函數(shù)圖象關(guān)系，將抽象理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的形象認(rèn)識(shí)，再輔助科學(xué)的練習(xí)，大家就不難掌握?qǐng)D解二次函數(shù)單調(diào)性的技巧。

比如，我們可以舉出比較典型或特殊的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生自主探索并嘗試畫(huà)出其圖象，然后通過(guò)圖象進(jìn)一步說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，諸如：

①y=x2-2|x－1|+4；②y=|x2－1|；③y= x2+4|x|－7

當(dāng)然，以上特殊的舉例與我們常見(jiàn)的二次函數(shù)存在一定的差異和聯(lián)系，但是它們能更多的反應(yīng)各種典型的函數(shù)單調(diào)性，有助于同學(xué)們從實(shí)際探索中摸索出采用分段函數(shù)來(lái)表達(dá)和描述帶有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的方法和技能，最終分別畫(huà)出其圖象，分析其性質(zhì)。

2、函數(shù)的最值

同學(xué)們?cè)诔踔须A段就已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況：如果a>0時(shí)，函數(shù)滿足 時(shí)有最小值 ，沒(méi)有最大值；反過(guò)來(lái)a

我們可以通過(guò)圖像來(lái)形象地研究二次函數(shù)的最值問(wèn)題。一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題主要是對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱軸與所在區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的分析，一般存在對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況。我們可以通過(guò)以下例題來(lái)體會(huì)：

如果f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f（x）在x∈[m,n]上的最值

分析：我們可以將f（x）配方，得出其對(duì)稱軸方程

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上

若 則在曲線頂點(diǎn)取得最小值，在離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)端點(diǎn)取得最大值

若 則在虛擬定點(diǎn)最近的點(diǎn)取得最小值，在離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)端點(diǎn)取得最大值

總之，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在[m,n]上有單調(diào)性，因此在距對(duì)稱軸 最遠(yuǎn)端取最大值，最近處得最小值。

②反之當(dāng)a

①當(dāng)a>0時(shí)

②當(dāng)a

一般來(lái)說(shuō)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合上只有最大或最小值，但如果定義域發(fā)生改變時(shí)，最值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，有些情況比較繁瑣難于理解，我們可以讓大家多作圖，多觀察，多練習(xí)，來(lái)進(jìn)行掌握。

概括地說(shuō)，函數(shù)的值域即是其所有函數(shù)值的集合，在定義域范圍內(nèi)，在固定的對(duì)應(yīng)法則下，函數(shù)值也被確定在某個(gè)固定集合。鑒于此，我們?cè)谔幚砗瘮?shù)最值問(wèn)題時(shí)，必須詳細(xì)分析函數(shù)的定義域。我們?cè)偻ㄟ^(guò)以下案例來(lái)體驗(yàn)這個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程：

例如：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。

該題如果依照常規(guī)解法：可以設(shè)t= ，則2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=

這樣算出函數(shù)值域?yàn)?．

但是這樣得出結(jié)論卻是錯(cuò)誤的，因?yàn)椋哼@里包含了一個(gè)隱含條件：t≥0，而二次函數(shù)y=2t2+t+1在[0,+∞)上是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)t=0時(shí)，y有最小值1。所以該函數(shù)正確的值域應(yīng)該是是[1, +∞）．

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文第5篇

一、高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困惑

1.初高中教材之間的梯度過(guò)大。初中教材偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算,缺少對(duì)概念的嚴(yán)格定義或者概念的定義不全面。如函數(shù)的定義,初中教材是這樣定義的:在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于變量x的值,變量y都有惟一的值與它對(duì)應(yīng),那么就稱y是x的函數(shù)。用變化的觀點(diǎn)解釋,簡(jiǎn)明易懂。而高中教材是通過(guò)集合的觀點(diǎn)定義的:設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它對(duì)應(yīng),這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)。比較抽象,不易理解。

在初中不少數(shù)學(xué)定理沒(méi)有嚴(yán)格的論證,或用公里的形式給出,回避了證明,如不等式的許多性質(zhì)等。并且教材的坡度較緩,直觀性強(qiáng),對(duì)每個(gè)概念都配有足夠的例題和習(xí)題。而高中教材一開(kāi)始《必修一》的集合、映射、函數(shù)內(nèi)容涉及到近似代數(shù)知識(shí),比較抽象,學(xué)生不易掌握?！侗匦薅返牧Ⅲw幾何空間想象能力要求較高,概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格,論證要求高。有關(guān)定理性質(zhì)的運(yùn)用證明并不難,但學(xué)生書(shū)寫(xiě)不規(guī)范,不能把握定理的要求,解題失分較多。解析幾何的運(yùn)算能力要求很高,學(xué)生不能過(guò)運(yùn)算這一關(guān),學(xué)起來(lái)相當(dāng)困難。此外,高中數(shù)學(xué)課堂容量遠(yuǎn)大于初中。這些都是高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困惑的客觀原因。

2.初高中教學(xué)方法差異大。平時(shí),經(jīng)常聽(tīng)到學(xué)生反映:老師上課我聽(tīng)得懂,但自己做作業(yè)就不會(huì)做;也有學(xué)生說(shuō),平時(shí)自認(rèn)為學(xué)得還不錯(cuò),但到考試成績(jī)就不高。本人也教過(guò)幾年初中數(shù)學(xué),初高中課堂教學(xué)差異很大,初中重視直觀形象的教學(xué),課堂容量小,老師每講完一道題,有足夠的時(shí)間讓學(xué)生板演和練習(xí)。而高中教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法,注重舉一反三,一題多解,并要進(jìn)行嚴(yán)格論證和推理。又由于高中教師中有剛教完高三的教師接任高一學(xué)生的教學(xué),往往會(huì)用對(duì)待高三學(xué)生的要求來(lái)對(duì)待剛上高中的學(xué)生。高初中教師教學(xué)方法的巨大差異,之間又缺少過(guò)渡。這是高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困惑的主觀原因。

3.初中的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。學(xué)生在初中三年已經(jīng)形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們只滿足上課注意聽(tīng)講,盡力完成老師的作業(yè)。但課堂上只滿足于聽(tīng),沒(méi)有做筆記和反思總結(jié)的習(xí)慣,缺乏積極的思維。不會(huì)科學(xué)地安排時(shí)間,缺乏自學(xué)能力。甚至還有些學(xué)生,在初中時(shí)到初三認(rèn)真刻苦了一年也考上了高中,認(rèn)為考上了高中可以松口氣了,到高三再認(rèn)真學(xué),缺少知識(shí)的儲(chǔ)備,這種學(xué)習(xí)方法不適宜高中階段的正常學(xué)習(xí)。

4.數(shù)學(xué)思維膚淺不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)要求。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,對(duì)一些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程沒(méi)有深刻的理解,一般的學(xué)生還停留在初中學(xué)習(xí)水準(zhǔn),往往只善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題,不能脫離具體表象形成抽象的概念,無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握其本質(zhì),缺乏抽象思維能力,不能根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型去解決問(wèn)題,缺乏分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)策

1.注重初高中數(shù)學(xué)的銜接,抓好高一數(shù)學(xué)入門(mén)教學(xué)。高中教師應(yīng)了解初中教師的授課特點(diǎn)。開(kāi)學(xué)初,要多找學(xué)生談話,了解學(xué)生掌握知識(shí)的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清初中知識(shí)體系,初中教師的授課特點(diǎn),學(xué)生狀況的前提下,根據(jù)高一教材和課程標(biāo)準(zhǔn)要求,制定出符合學(xué)生實(shí)際的教學(xué)計(jì)劃,確定切實(shí)可行的教學(xué)方法,做到有的放矢,抓好高中數(shù)學(xué)入門(mén)教學(xué)。

進(jìn)入高中首先學(xué)習(xí)的是集合,集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言,要充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,從學(xué)生熟悉的實(shí)例引入集合的概念,并從不同的角度學(xué)習(xí)和理解集合的表示方法,鼓勵(lì)學(xué)生自己舉例,使學(xué)生真正理解集合的概念,上好開(kāi)學(xué)的第一課。

2.放慢進(jìn)度,降低難度,注意初高中教學(xué)內(nèi)容的銜接。根據(jù)本人的教學(xué)體會(huì),高一數(shù)學(xué)要加強(qiáng)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí),基本方法的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的基本技能,教學(xué)時(shí)注意形象直觀,注重知識(shí)的形成過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

在講解2.1.3例2求證:函數(shù) 在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)函數(shù)。可以對(duì)照?qǐng)D像示意,并對(duì)照函數(shù)單調(diào)性定義,指出函數(shù)單調(diào)性證明的要點(diǎn),特別不能運(yùn)用結(jié)論證明結(jié)論。

由于新高一學(xué)生缺乏嚴(yán)格的論證能力,對(duì)于函數(shù)單調(diào)性證明這一難點(diǎn),要進(jìn)行系列訓(xùn)練。多讓學(xué)生進(jìn)行板演練習(xí),及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,解決問(wèn)題。通過(guò)上述方法,降低教材難度,提高學(xué)生的可接受性,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

3.嚴(yán)格要求,打好基礎(chǔ)。注重進(jìn)入高中的第一節(jié)課,教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)提出具體、可行的要求。如作業(yè)的規(guī)范化,獨(dú)立完成,錯(cuò)題訂正等。對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的弊端,應(yīng)限期改正。嚴(yán)格要求貴在持之以恒,應(yīng)貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)的全過(guò)程,逐步成為學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。重視基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的基本技能。同時(shí)基本解題方法的熟練掌握,也便于學(xué)生接受較高層次的知識(shí)。

4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)信心。興趣是最好的老師,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣,才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興奮灶,也就能更大程度提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。高一教材幾種基本初等函數(shù):指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像教學(xué)時(shí),教師可以借助幾何畫(huà)板,演示比較,提高學(xué)生聽(tīng)課的興趣,加深學(xué)生對(duì)圖像性質(zhì)的理解。同時(shí)幫助學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)目的,針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際,分別提出不同較高的要求,采取因材施教,讓學(xué)生有“跳一跳,就能摸到桃”的感覺(jué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

5.指導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法?！笆谌艘贼~(yú),不如授人以漁”。良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣,不但是高中階段學(xué)習(xí)上的需要,還能使學(xué)生收益終生。好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣,一方面需老師的指導(dǎo),另一方面也需要老師的強(qiáng)求。教師應(yīng)向?qū)W生介紹高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn),進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo),幫助學(xué)生制定學(xué)習(xí)計(jì)劃。學(xué)會(huì)聽(tīng)課,合理安排時(shí)間。聽(tīng)課時(shí)要勤動(dòng)腦,多動(dòng)手,肯動(dòng)口。讓學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程,教師應(yīng)有針對(duì)地向?qū)W生堆薦課外輔導(dǎo)用書(shū),擴(kuò)大知識(shí)面。提倡學(xué)生進(jìn)行章節(jié)總結(jié),把知識(shí)串成線,做到書(shū)由厚讀薄,又由薄讀厚。

6.暴露學(xué)生的思維過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的思維能力?？梢栽O(shè)計(jì)診斷性題目,事先猜測(cè)學(xué)生可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤想法,運(yùn)用延遲評(píng)判的原則,待學(xué)生所有的錯(cuò)誤觀點(diǎn)充分暴露后,再提出矛盾,以免暴露不完全,解決不徹底。

有時(shí)也可設(shè)置疑難,展開(kāi)討論。選擇學(xué)生不易理解的概念,不能正確運(yùn)用的知識(shí),容易混淆的問(wèn)題,讓學(xué)生討論,從錯(cuò)誤中引出正確的結(jié)論,這樣學(xué)生的影響特別深刻。而且通過(guò)暴露學(xué)生的思維過(guò)程,能消除消極的思維定勢(shì)在解題中的影響。