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邏輯中的基本推理方式范文第1篇

【摘要】生動有邊從五個方面論述了農(nóng)村中學如何加強和改進化學實驗教學，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生的創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】初中化學；實驗教學；創(chuàng)新精神

邏輯思維是我們教育的重要基礎，也是素質(zhì)教育的重點， 如何加強并培養(yǎng)學生的邏輯思維能力？就成為我們教育工作者苦思冥想的一個難題。推理是邏輯思維中最基本的思維方式。初中理科就是通過邏輯論證來敘述的，應用題、證明題都蘊含邏輯推理的過程，要提高學生的學習成績，就必須十分注意培養(yǎng)學生的邏輯推理思維能力?！胺赐普龑憽币浴八蟆睘橹行?，尋找“已知條件”滿足所求為主線，求什么需什么，需什么找什么，從未知向已知推導，從已知向未知書寫的推理方法正好可以讓學生明白每一步的來源，達到有根有據(jù)，條理清晰的邏輯性，從而加強學生邏輯思維推理能力的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞： 反推正寫、邏輯思維、推理能力 培養(yǎng) ①邏輯思維是人們在認識過程中借助于概念、判斷、推理等能動地反映客觀現(xiàn)實的理性認識過程。只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質(zhì)規(guī)定的把握，進而認識客觀世界。推理是邏輯思維中最基本的思維方式。初中理科就是通過邏輯論證來敘述的，應用題、證明題都蘊含邏輯推理的過程，要提高學生的學習成績，就必須十分注意培養(yǎng)學生的邏輯推理思維能力。教學中我們發(fā)現(xiàn)很多學生答題時，步驟混亂，隨心所欲，尤其是應用題、證明題的書寫步驟更是不盡如人意，一道本來能做的題，答下來總是不能達到最好的效果，老師反復地講，學生反復地練，到最后還是不知道怎樣有條不紊的書寫答題步驟，這成了學生最苦惱，老師最頭疼的一件事情。如果學生按這樣的模式發(fā)展下去，將來走入社會，做事情也就會變得無根無據(jù)。究其原因就是學生的頭腦中還沒有形成邏輯思維。對于初中的學生，幾乎還沒有邏輯的概念，雖然少部分學生已開始有這方面的趨向，但還是不強，男生稍好一點，女生就更加的薄弱了，要想讓他們在未來的生活中說話、做事達到條理清晰。這就需要我們在教學中加強這方面的培養(yǎng)。由此可見：邏輯思維是我們教育的重要基礎，也是素質(zhì)教育的重點， 如何加強并培養(yǎng)學生的邏輯思維能力？就成為我們教育工作者苦思冥想的一個難題。要想讓學生答題做到簡明扼要，條理清晰，有根有據(jù)，就必須使學生明白每一步的來源，而 “反推正寫”以“所求”為中心，尋找“已知條件”滿足所求為主線，求什么需什么，需什么找什么，從未知向已知推導，從已知向未知書寫的推理方法正好可以讓學生明白每一步的來源，達到有根有據(jù)，條理清晰的邏輯性，從而加強學生邏輯思維推理能力的培養(yǎng)。

總之：對初中生邏輯思維的培養(yǎng)具有重要的意義，初中的學生正處于從形象思維向抽象思維的過度階段，是思維成長和形成的最佳時期，如果加強引導，應用一種有效的方法，從初中的學習中以最基本的邏輯現(xiàn)象進行培養(yǎng)，不僅易于接受，還不易出現(xiàn)眼高手低的現(xiàn)象，能使原本朦朧、混亂的思維具有邏輯性。不僅有利于學生成績的提高，更有利于他們綜合素質(zhì)的改善，也是他們將來步入社會，成為一個理性社會人所必須的條件。

邏輯中的基本推理方式范文第2篇

【關(guān)鍵詞】思維；形象思維；抽象思維；轉(zhuǎn)換

【Abstract】The thought is a characteristic cognitive activity of human that is conscious and controllable, which is on the foundation of the perceptual cognition and the representation in human’s practice. It takes the language as the tool, the knowledge and experience as the intermediary. In the mathematical thought activity, the iconic thought and the abstract thought are the most basic two kinds of forms of the thinking. They communicate mutually, transform mutually and cooperate closely. This paper has mainly discussed the transformation between these two kinds of thought and about how to foster this transformation ability.

【Keywords】Thought；Iconic-thought；Abstract-thought；Transformation

引言思維是宇宙中物質(zhì)運動的基本形式之一，思維的性質(zhì)和特點決定了它與現(xiàn)在的素質(zhì)教育有著密不可分的關(guān)系。特別是隨著新課程標準和新課改的提出和實施，思維的發(fā)展越來越被人們所重視。在數(shù)學教學中，抽象思維和形象思維相互溝通、轉(zhuǎn)化，避免了繁瑣的推導和計算。因此，數(shù)學教學不僅要培養(yǎng)學生的抽象思維和形象思維能力，而且要注意發(fā)展這兩種思維的靈活轉(zhuǎn)換能力，這是創(chuàng)造性思維必備的良好品質(zhì)。下面就此談一些粗淺看法，在研究“抽象思維與形象思維的轉(zhuǎn)換”之前，有必要了解一些關(guān)于思維的知識。

思維的本質(zhì)與表現(xiàn)形式思維是人類特有的有意識的能控制的認識活動，是具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性的概括的間接的反映。思維以感知為基礎而又超越于感知的界限，是認識過程的高級階段。

從思維科學的角度分析，作為理性認識的個體思維表現(xiàn)為三種形式，即抽象思維?形象思維和特異思維，或者為邏輯思維、形象思維和直覺思維三種形式。人的每一個思維活動過程都不會是單純的一種思維在起作用，往往是兩種、甚至三種先后交錯起作用，在數(shù)學思維活動中，抽象思維和形象思維是思維的兩種最基本的思維形式，是人類理性認識中的兩種不同方式，它們都是在實踐基礎上由感性認識產(chǎn)生的。

抽象思維是一種以語言過程為媒介進行表達，以概念?判斷?推理為其基本形式，以比較與分類?抽象與概括?分析與綜合?歸納與演繹等邏輯方法為其基本方法的思維方式。抽象思維是數(shù)學思維方式的核心。任何其它數(shù)學思維方式或者要以抽象思維為基礎，或者最終需要運用抽象思維進行表達，因此它是最重要的并且也是最基本的數(shù)學思維方式。抽象思維不僅包括傳統(tǒng)的形式邏輯以及進一步形式化和規(guī)范程序化的數(shù)理邏輯，還包括辨證邏輯等廣義的邏輯內(nèi)容。

形象思維是依靠形象材料的意識領會得到的理解。它以表象、直感和想象為其基本形式，以觀察?聯(lián)想?猜想等形象方法為其基本方法的思維方式。形象思維是數(shù)學思維的先導。在獲取數(shù)學知識與解決數(shù)學問題的過程中，形象思維是形成表征的重要思想方式。它還滲透于抽象思維過程中，如果沒有形象思維的參于，抽象思維就不可能很好地展開和深入。因此，在數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的形象思維能力是思維訓練的基本任務之一。數(shù)學形象思維是包括空間想象在內(nèi)的更廣義的一種提法，它的含義包括空間圖形想象和圖式想象兩個方面，并且還應包括形象思維基本方法的運用。即不僅要能運用數(shù)學表象形成空間觀念和數(shù)量關(guān)系，能在頭腦中反映出正確形象或表征，而且能用再現(xiàn)性想象表達數(shù)量關(guān)系與空間形式，同時還要進一步運用表象?直感?聯(lián)想?類比?想象?猜想等形象方法進行推理、分析?證明或求解數(shù)學問題。

抽象思維和形象思維的轉(zhuǎn)換

.抽象思維與形象思維的關(guān)系。抽象思維與形象思維均以感知作為思維的起點。抽象思維與形象思維的共同基礎都是客觀世界，但它們反映世界的方式不同。前者以概念、判斷、推理的方式反映世界，后者以形象的方式反映世界。抽象思維和形象思維都是以觀察、理解、想象、記憶等智力心理要素為條件，抽象思維是在形象思維的基礎之上發(fā)展成熟起來的，形象思維包含著抽象思維的萌芽。兩者的形成過程與思維要求不同，在從感知到思維的數(shù)量、思維形式方面也存在著一些差異，前者以形象為思維手段，其過程為：感性形象認識--理性形象認識--實踐--反饋；后者有一定的思維規(guī)范，有概念、推理、命題、證明等思維形式。從人類認識發(fā)展的歷史來看，通過對原始思維以及對兒童思維發(fā)展的研究，已有充分的證據(jù)證實：“形象思維先于語言，也先于抽象思維”。

數(shù)學中的抽象和形象兩者本身是不可絕對分割的，是相互滲透的，抽象思維與形象思維之間并無不可逾越的鴻溝，數(shù)學概念本身存在著抽象思維與形象思維兩種過程的辯證統(tǒng)一。在解決數(shù)學問題的具體思維過程中，抽象思維與形象思維是根據(jù)思維的需要相互溝通，相互轉(zhuǎn)化，交替使用的。這兩者緊密配合地工作，能夠獲得最佳的思維效果，創(chuàng)造出新的思維成果。數(shù)學問題的分析需要形象思維方法作為先導并從觀察題目的條件特征入手，借助推理展開聯(lián)想、運用歸納、類比的手段進行探索和猜想，大致確定解題方向或途徑后，在通過比較、分析、演繹綜合邏輯推理等多種手段加以證明或求解。因此數(shù)學思維的有效途徑是抽象思維方法與形象思維方法的辯證結(jié)合，根據(jù)具體問題的具體特征選擇適當?shù)姆椒右允褂谩?.抽象思維和形象思維的轉(zhuǎn)換。思維轉(zhuǎn)換是思維從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種狀態(tài)的復雜的心理過程，抽象思維和形象思維的相互轉(zhuǎn)換是思維的最基本轉(zhuǎn)換之一。形象思維的結(jié)果需要進行抽象表達。形象思維過程是主體對數(shù)學關(guān)系，形體結(jié)構(gòu)等材料或信息進行形象加工，是主體對數(shù)學的圖形、圖式等材料用形象方法進行的特征構(gòu)思和推理。這個加工過程具有整體性、直觀性、模糊性、非邏輯性和間斷性。這些特性使主體常常感到似乎已經(jīng)想得相當充實，但要用詞語表達時就會感到不同程度的乏力和無力，從而只能進行不完整的部分的描述。因此，單純的形象思維是意識形態(tài)的，是人的意識從形象特征角度已經(jīng)理解了但還不

  

能進行抽象表達的思維形式。但是，由于在具體的數(shù)學思維過程中，形象思維與抽象思維的互相交織，通過主體的歷時性思維醞釀以后，形象思維可以轉(zhuǎn)化為抽象思維，再外化成詞語過程加以表達，這是一個近似的或逼近的過程。

抽象思維對人的形象感知有促進和深化的作用。抽象思維可以幫助人們清晰地認識和把握直觀感知的形象，從而起到對形象感知的促進和深化的作用，但往往表現(xiàn)為間接調(diào)節(jié)形象感知，起到一種模糊的引導作用。同時，抽象思維在形象思維過程中也起到了規(guī)范和引導的作用。抽象思維規(guī)范引導著人們的形象思維，它可以幫助人們分析、審視形象結(jié)構(gòu)，從而起到規(guī)范和引導作用，但它不代表形象思維本身。學生的思維特點是以具體的形象思維為主要形式向抽象的邏輯思維過渡。具體形象的東西容易理解和接受，對于需要進行判斷和推理的原理和概念，就難以接受和領悟。他們感知事物的特點是比較籠統(tǒng)的和不精確的，往往只注意一些孤立的現(xiàn)象，看不出事物之間的聯(lián)系和特點。教學中既不能“拔苗助長”，也不能降低標準忽視能力的培養(yǎng)。要充分地利用各種直觀的教具使一些抽象的概念變得形象具體，指導他們對事物進行有目的的細致觀察，讓他們從復雜的現(xiàn)象中區(qū)分出主要和次要，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，用形象生動的語言啟發(fā)他們對同一屬性的不同事物進行比較、分析和判斷，找出它們之間的共同點和不同點，綜合歸納出它們共同的本質(zhì)屬性，逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力。如數(shù)學中的追及問題和相遇問題，我們可以通過課件展示各種不同的運動形式，指導學生對不同的運動過程進行細致的觀察和思考，找出它們之間的相同點和不同點，通過動與靜的結(jié)合，讓學生充分地理解和領悟運動過程中的不同概念，啟發(fā)誘導他們進行分析和判斷，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，分析不同的情況在解決問題中的實際意義，讓學生形象思維平穩(wěn)地過渡到抽象思維。抽象思維和形象思維的相互轉(zhuǎn)換方式大致有兩種：

①邏輯轉(zhuǎn)換。思維以思維材料為載體，抽象思維以抽象材料為載體，而形象思維則以形象材料為載體，抽象材料與形象材料之間存在著各種邏輯聯(lián)系，當它們通過相互之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化時，思維形式也隨之轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換叫做思維的邏輯轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的邏輯通道是思維載體間的邏輯聯(lián)系。如通過方程與函數(shù)的邏輯聯(lián)系——直角坐標系實現(xiàn)數(shù) 形 數(shù)的轉(zhuǎn)化。

②潛邏輯轉(zhuǎn)換。思維的潛邏輯轉(zhuǎn)換往往表現(xiàn)為不按通常的邏輯順序進行的直覺判斷，轉(zhuǎn)換過程具有跳躍性和間斷性，主要表現(xiàn)為發(fā)生轉(zhuǎn)換的邏輯通道是隱蔽的，轉(zhuǎn)換的邏輯過程在潛意識中完成。這種跳躍與間斷實質(zhì)是思維過程的簡約。因此，思維的潛邏輯轉(zhuǎn)換以邏輯轉(zhuǎn)換為基礎，它是思維能力向高層發(fā)展的結(jié)果，也是靈感思維產(chǎn)生的源泉。

思維轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)如前面所述，思維的載體的轉(zhuǎn)化伴隨以思維形式的轉(zhuǎn)換，抽象思維和形象思維的邏輯轉(zhuǎn)換與它們的載體之間的相互轉(zhuǎn)化密切相關(guān)。為此，教學中應注意以下幾點：

.讓學生及早熟悉數(shù)學思想。數(shù)學解題過程中，基本數(shù)學思想（如化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、變換思想等）和基本數(shù)學方法（如換元法、配方法、構(gòu)造法、參數(shù)法等）總是緊密聯(lián)系，相互配合的。及早熟悉基本數(shù)學思想，使學生能用較高觀點分析問題。正確選擇解題策略，是迅速順利的獲取思維成果的保證。

.提高思維的概括能力。概括是知識領會過程中對感性知識進行分析、綜合，逐步形成理性知識的過程。提高思維的概括能力就是提高揭示所學知識本質(zhì)特征并概括為數(shù)學概念或數(shù)學形象的能力。如數(shù)學問題的模型化，就是一種形象的概括。

.數(shù)形轉(zhuǎn)化的訓練。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學。事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系可以通過多種途徑相互轉(zhuǎn)化，如通過直角坐標系、函數(shù)解析表達式與圖象、方程與曲線、復數(shù)與復平面內(nèi)的點的相互轉(zhuǎn)化，就是最基本也是最重要的轉(zhuǎn)化途徑。加強數(shù)形轉(zhuǎn)化的訓練，就是要以“數(shù)形結(jié)合思想”為指導，使事物的“數(shù)量關(guān)系”和“形象”統(tǒng)一起來，這對于提高思維轉(zhuǎn)換能力極為重要。

邏輯中的基本推理方式范文第3篇

關(guān) 鍵 詞：美術(shù)理論 邏輯方法 非邏輯方法

美術(shù)作為人文學科之一，它包含著美術(shù)實踐與美術(shù)理論兩個方面。從思維科學的角度來看，美術(shù)實踐與美術(shù)理論各自有著不同的思維方式，同時，它們之間也存在著某些交叉與互補的關(guān)系。美術(shù)實踐主要是通過形象思維的過程來完成的，但它并不完全拒絕邏輯思維的方法；美術(shù)理論則主要是通過邏輯思維的過程來完成的，但它亦不排斥形象思維等非邏輯方法的應用。

所以說，美術(shù)理論是對美術(shù)的理性的認識。理性認識是認識過程的高級階段和高級形式，是人們憑借抽象思維把握事物的本質(zhì)和內(nèi)部聯(lián)系的有效方式。理性認識以抽象性、間接性、普遍性為特征，以事物的本質(zhì)、規(guī)律為對象和內(nèi)容。作為理性認識的美術(shù)理論主要是通過邏輯方法來完成的。邏輯方法是研究概念、判斷、推理及其相互聯(lián)系的規(guī)律、規(guī)則，從而幫助人們正確地思維和認識客觀真理的方法。邏輯的思維形式是抽象思維。抽象與感性直觀是對立的，一切科學的概念或范疇都是抽象的結(jié)果。抽象既與感性直觀相區(qū)別，又是感性直觀的發(fā)展，它是以感性直觀為中介的對客觀對象的間接反映，它所提供的關(guān)于對象本質(zhì)的認識是感性直觀不能達到的，因而，它又是一種創(chuàng)造性的思維過程。WWW.133229.COM人類只有借助于思維的抽象力才能揭示和把握感性直觀所不可能發(fā)現(xiàn)的客觀對象的本質(zhì)及其運動規(guī)律。

抽象思維作為一種基本的思維類型，它主要是指應用概念、判斷、推理等形式反映事物內(nèi)在本質(zhì)和一般規(guī)律的過程與方式。它是通過邏輯方法而獲得認識成果的。邏輯是一門以推理形式為主要研究對象的科學。推理是以一個或幾個命題為根據(jù)或理由以得出一個命題的思維過程。作為根據(jù)或理由的那一個或幾個命題是推理的前提，由前提得出的那個命題是推理的結(jié)論。邏輯作為一門科學，不僅研究個別的正確推理形式，而且還研究各種正確推理形式之間的關(guān)系和提出關(guān)于正確推理形式的系統(tǒng)理論。

人們的思維活動除了理性的、邏輯的因素外，它還包括著感性的、非邏輯因素。非邏輯因素一般主要指人的認知、情感、意志、動機、欲望、信念、信仰、習慣、想象、聯(lián)想、靈感、直覺、頓悟等。非邏輯方法一般可分為形象思維和靈感思維兩大類。我們在這里所說的非邏輯方法，是指美術(shù)理論研究中的非邏輯方法，而并非是指美術(shù)實踐中的非邏輯方法。邏輯方法與非邏輯方法雖然存在著差異，但二者卻具有相互補充的功能。在學術(shù)研究中，邏輯方法出現(xiàn)阻隔時，非邏輯方法往往是另辟蹊徑的有效手法，而一旦用非邏輯方法溝通了認識的渠道之后，又需在新舊認識的鴻溝上架起邏輯的橋梁。

我們強調(diào)邏輯思維在美術(shù)理論研究中的重要性，但并非排斥非邏輯思維的價值與地位；恰恰相反，由于美術(shù)理論研究的對象具有較強的實踐特征，這種實踐特征本身又具有鮮明的非邏輯思維因素，因而，不僅在理論研究的過程中需要非邏輯思維方法的補充，同時在對研究對象做出客觀和科學的認知時，還需要研究者必須對非邏輯思維方法有一定的把握，在某些方面，它還要求研究者甚至要具備非邏輯思維的實踐經(jīng)驗。不可想象，一個不具備色彩感知的人會在色彩藝術(shù)理論研究中取得什么可靠的理論成果，一個缺乏對毛筆性能掌握的人會在書法基礎理論研究中得出符合客觀實際的結(jié)論……可以說，一個缺乏對美術(shù)品的直覺感受或?qū)γ佬g(shù)實踐不曾有過直接體驗的人，其所謂“理論成果”往往是不可靠的，有時甚至還是美術(shù)理論中的“偽科學”。我們無須要求每個理論家都必須是實踐家，更無須要求每個實踐家都必須是理論家。但對視覺形式的感知與體驗，卻應是從事美術(shù)理論研究工作的基本前提，沒有這個前提，一切“理論”必然建立在虛無之中，這亦是美術(shù)理論研究的一個至關(guān)重要的特征，這個特征也是美術(shù)自身特征所決定的。我們認為它甚至應該成為從事美術(shù)理論研究的一個不可或缺的基本條件。

美術(shù)理論作為一種學術(shù)形態(tài)，它的研究對象和研究特征決定了它無法對非邏輯思維方法采取忽視的態(tài)度。事實上，人們在思維的過程中，邏輯的與非邏輯的方式往往呈現(xiàn)著一種渾然一體、相輔相成的有機狀態(tài)，兩者之間僅僅會在不同的研究方式中出現(xiàn)主次差異而已。

綜上所述，我們認為邏輯方法在現(xiàn)實生活中影響和制約著人們的感性認識活動；它加工整理感性認識材料，把實踐經(jīng)驗由個別提升到一般；它能從已有的知識推出更新的知識，并把知識構(gòu)建成系統(tǒng)而嚴密的體系；它可以借助于被實踐檢驗過的知識去探求假說是否具有真實性；它能預測事物發(fā)展的前景，給人的實踐活動以目標與信心。非邏輯方法則排除了運用概念進行判斷或按照邏輯程序進行推理的理性范式，從而有助于人的內(nèi)在潛能和創(chuàng)造性思維的發(fā)展；它借助人們可以感知的形象，傳達著人類用語言或理性方式所無法表述的思想與情感；它的形象特征和情感因素往往給人們完整地認識客觀事物提供直接的幫助；它的思維方式也往往成為學術(shù)創(chuàng)新的基因。在美術(shù)理論研究中首先必須遵循邏輯思維的方法和范式，在對研究對象進行理性分析的基礎上，合理應用非邏輯方法，注重個人感受與生命體驗，在以邏輯方法為主體，并在邏輯方法與非邏輯方法有機結(jié)合的情況下，才能科學地揭示出美術(shù)發(fā)展的規(guī)律，從而達到學術(shù)的創(chuàng)新。

參考文獻：

邏輯中的基本推理方式范文第4篇

關(guān)鍵詞:數(shù)理邏輯;推理規(guī)則;證明技術(shù);-消除規(guī)則

中圖分類號:G642文獻標識碼:B

為計算機科學與技術(shù)專業(yè)開設的離散數(shù)學課程,通常由“數(shù)理邏輯、集合論、組合論、圖論、抽象代數(shù)、可計算理論”中的若干模塊組成。目前,流行的做法是把計算機專業(yè)人才培養(yǎng)目標分為科學型、工程型和應用型,但無論是哪一型,幾乎沒有例外,都把數(shù)理邏輯列為離散數(shù)學教學的核心知識單元,可見其意義之重要。本文就數(shù)理邏輯教學中值得關(guān)注的幾個問題談一些看法。

1全面認識數(shù)理邏輯的理論體系

邏輯(logic)是研究人的思維規(guī)律的科學,數(shù)理邏輯(mathematical logic)則是用數(shù)學的方法,更確切地說,是用符號化、公理化、形式化的方法研究邏輯,因而它又有“符號邏輯”和“現(xiàn)代邏輯”之稱。文獻[1]指出數(shù)理邏輯的理論體系由以下三個層面的內(nèi)容組成。

1.1邏輯代數(shù)(algebra of logic)─語義層面

俗稱兩個演算:命題演算和謂詞演算,旨在解決邏輯的符號化問題,賦予它們數(shù)學的語義,包括命題的真值,聯(lián)結(jié)詞的意義,個體、謂詞、量詞的解釋,命題公式、謂詞公式(它們就像初等數(shù)學中的“代數(shù)式”)的真值。永真式是思維規(guī)律的抽象,邏輯等價式和邏輯蘊涵式是永真式的特例(像初等數(shù)學中的恒等式、“恒”不等式)。利用一些基本的邏輯蘊涵式、邏輯等價式以及代入、替換規(guī)則,通過代數(shù)變換,導出更多的邏輯蘊涵式、邏輯等價式,是這一層面的核心內(nèi)容。這部分的教學,要使學生對思維的規(guī)律有更清楚地認識,對邏輯的數(shù)學屬性有更深刻的了解,并能利用代數(shù)變換進行語義層面的邏輯推導,從一些前提出發(fā),導出它們的邏輯結(jié)果。

1.2形式系統(tǒng)(formal systems)――語構(gòu)層面

形式系統(tǒng)是一種人工語言(如常見的一階謂詞演算系統(tǒng),自然演繹系統(tǒng)等),以上述的邏輯代數(shù)為其語義。旨在解決邏輯的形式化問題,建立一個只依賴符號識別、只使用符號重寫進行邏輯推理的形式系統(tǒng)。其中的公理是最為基本的思維定式的符號表達式,在形式系統(tǒng)中起作用的只是它的形式,其永真性已經(jīng)不再重要;推理規(guī)則是僅依據(jù)語構(gòu)可機械地實現(xiàn)的“重寫規(guī)則”,依據(jù)公理或先前運用重寫規(guī)則得到的表達式,重寫出新的系統(tǒng)接受的表達式。數(shù)理邏輯把形式系統(tǒng)中依據(jù)公理和推理規(guī)則進行重寫的過程叫做“證明”或“演繹”,統(tǒng)稱為(系統(tǒng)內(nèi))推理。系統(tǒng)內(nèi)推理得到的表達式,就是系統(tǒng)的“定理”;給定若干表達式作為前提時,系統(tǒng)內(nèi)推理得到的表達式,稱為前提的“演繹結(jié)果”。

1.3元理論(meta theory)――關(guān)于語義、語構(gòu)的研究

在系統(tǒng)外對形式系統(tǒng)進行研究的理論。首先是系統(tǒng)正確性(合理性,soundness)研究,討論系統(tǒng)的“重寫過程”是否真的復制了思維的推理過程,即其結(jié)果是否真的語義為真、或的確是前提的邏輯結(jié)果。其次是系統(tǒng)完備性(completeness)研究,系統(tǒng)的“重寫過程”是否真的可以代替思維的推理過程,即其結(jié)果是否的確覆蓋了語義為真的事實、或前提的所有邏輯結(jié)果。再次是對系統(tǒng)的優(yōu)化的研究,例如系統(tǒng)公理、規(guī)則的獨立性,以及部分可提高推理效率的元定理的導出。

在離散數(shù)學中,通常只介紹“邏輯代數(shù)”,較少介紹“形式系統(tǒng)”,基本不講“元理論”。有的教材避開形式系統(tǒng)提到了形式證明,把這一部分叫做“證明技術(shù)”,不失為一種選擇,但有的處理得較為粗糙,在教學中產(chǎn)生了一些概念的混淆。

2深刻理解形式系統(tǒng)的推理規(guī)則

介紹數(shù)理邏輯形式系統(tǒng)時當然少不了涉及推理規(guī)則(inference rules);離散數(shù)學中用“證明技術(shù)”避開形式系統(tǒng)來講授形式證明,仍然回避不了推理規(guī)則(詳見文獻[2])。推理規(guī)則通常表示為以下形式,前者用于一般系統(tǒng),后者用于演繹系統(tǒng)。

(1)

(2)

形式(1)是說,有 時,便可重寫B(tài),但其語義卻可能是不同的:

(a) 意指 邏輯蘊涵B,或 是邏輯蘊涵式。也就是說,一切使得 為真的域、解釋、指派,也同時使B為真。例如 。

(b) 意指 永真(可證),那么B永真(可證)。例如

或 (C中無自由變元x)

事實上,這條被稱為“ 推廣”的規(guī)則,是元定理“若A(x)可證,則x A(x)可證”的縮寫,絕不是意義(a)下的規(guī)則。A(x)x A(x)是無論如何不可接受的。本規(guī)則的后一個寫法更好些,C中無自由變元反映了前提中x 的任意性,反映了這條規(guī)則的本質(zhì)屬性。然而,“證明技術(shù)”更多使用前一個的寫法。

用形式(2)表示上述兩個例子,顯然是

和

似乎差別不大。其實不然。形式(2)中的Г可以是不空的,因而可以表示演繹;其次Г還是可變的,因而可以表示在推理中假設的引進和消除。例如

它反映的是這樣的一條元定理:“如果由前提Г可演繹出 ,并且在添加假設 和 后都能演繹出 ,那么由前提Г必可演繹出 (假設 和 是可以消除的)。又例如

它的意義是說,“如果由前提Г可演繹x A(x),并且在添加假設A(e)后都能演繹 ,那么由前提Г必可演繹出 (假設A(e)是可以消除的)”

3正確領會-消除規(guī)則的本質(zhì)屬性

一些離散數(shù)學教材在“證明技術(shù)”中引用了一條推理規(guī)則,稱為-消除規(guī)則,表示為

或

這不能不說是一個問題。它起源于早期的離散數(shù)學教材(文獻[3])。很顯然,xA(x) A(e)和“如果xA(x)可證(永真),那么A(e)可證(永真)”都是不能成立的。這條規(guī)則的本意應當是,“當推得 時,可以(不妨)假設 ”。讀者都有這樣的推理經(jīng)驗,當推知方程F(x)=0有根(即x(F(x)=0))時,不妨設這個根為x0(即F(x0)=0),然后再據(jù)此去求證所需的結(jié)論,只要所證結(jié)論與x0的性質(zhì)(除x0為F(x)=0的根這一性質(zhì))無關(guān),推理就是有效的。但無論如何不可以說,由方程F(x)=0有根,可以導出根是假設的那個x0。

關(guān)于這條規(guī)則還需要澄清兩種認識。

(1) 看起來是規(guī)則 的對偶形式。為什么后者合法,前者非法?

其實“A(x)永真,那么x A(x)永真”的對偶形式是“A(e)不可滿足,那么xA(x)不可滿足”,這正是Skolem定理,也正是采用證偽方式的消解原理中,可以用A(e)代替xA(x)的原因。

如果 推廣規(guī)則采用形式,那么,可以用它的對偶形式作為-消除規(guī)則,即

注:上述公式引自文獻[4]

(2) 把 看作是一條假設規(guī)則如何?

我們認為這種做法容易引起思想上、邏輯上的混亂。首先,規(guī)則的寫法的意義是確定的、公認的,不應該隨意變更。其次,引進的假設不同于重寫的邏輯結(jié)果,在后續(xù)推理中有種種限制,無法在規(guī)則使用說明中一一講清楚。例如下列推理:

推理 (a)xyA(x,y) 前提

(b)yA(x,y) 消除規(guī)則

(c)A(x,e) 消除規(guī)則

(d)xA(x,e) 推廣規(guī)則

(e)yxA(x,y) 存在推廣規(guī)則

就是錯誤的,因為其中第(c)式是一個假設, 推廣規(guī)則不可以對前提或假設中的自由變元作全稱量化。

4科學表述“證明技術(shù)”中的推理規(guī)則

前面已經(jīng)提到,在離散數(shù)學中介紹“證明技術(shù)”的目的是想讓學生在不涉及復雜的形式系統(tǒng)的基礎上了解一點形式推理的方法,同時對數(shù)學證明中只與邏輯有關(guān)的技術(shù)做一個系統(tǒng)的整理。不少離散數(shù)學教科書的做法是:建立一個“半形式化”的系統(tǒng),默認學習過的永真式為公理,邏輯蘊涵式為推理規(guī)則,增加所謂P規(guī)則、T規(guī)則(引用前提和中間結(jié)果的規(guī)則)、CP規(guī)則(引用待證條件命題前件的規(guī)則),以及四條關(guān)于量詞引入、消除的規(guī)則。這些規(guī)則其實并不夠,有的教材還包含表述不妥的-消除規(guī)則。

我們以為,可以認同用這樣一個“半形式化”的系統(tǒng),來講授證明技術(shù),但科學的表述才能避免誤解和混亂。我們的建議是:

(1) 引入形式證明的概念,告訴學生它和語義層面的邏輯推導的不同和聯(lián)系。目的是,建立初步的形式系統(tǒng)的概念,了解數(shù)理邏輯學習的要義。

(2) 引入“證明”、“演繹”的概念,幫助學生理解形式證明的基本組成。同時,所謂P規(guī)則、T規(guī)則便是可以省去的了。

(3) 默認若干重要的邏輯蘊涵式為一般推理規(guī)則,以利于形式證明的運用,有利于學生的掌握。

(4) 建立一組假設引入推理規(guī)則,用元定理的形式表述它們。包括:

前提假設引入規(guī)則:“為證AB,可添加假設A,證明B?！?這就是通常所說的CP規(guī)則)

反證假設引入規(guī)則:“為證A,可添加假設A,證明假命題f?！?/p>

分支假設引入規(guī)則:“已知AB,欲證C,可添加假設A,證明C;同時添加假設B,證明C。”

存在假設引入規(guī)則:“已知xA(x),欲證C,可添加假設A(e),證明C。”

假設引入時帶有標記,表明它們與其他重寫結(jié)果的區(qū)別,有些規(guī)則可否實施,與它們直接相關(guān)。例如

推廣規(guī)則 要求 在前提和假設前提中沒有自由出現(xiàn)。在上文提到的推理例子中的(c)式應當是A(x,e),表明A(x,e)是一個假設,對它和與它有關(guān)的后續(xù)步驟中,所含有的自由變元,均不能使用 推廣規(guī)則。因而錯誤的后續(xù)步驟就會被阻斷。

這些規(guī)則的引入不僅使形式證明變得便捷,同時使學生對數(shù)學中學過的證明技術(shù)有一個系統(tǒng)的認識。

對于上述做法有興趣的讀者,可以參閱文獻[5]。當然,在自然演繹系統(tǒng)中,-消除規(guī)則的表述是最為清楚的。規(guī)則 中,明明白白地告訴你A(e)是添加到前提Г中去的假設;由于假設也是一個前提,對前提使用規(guī)則的限制都適用于它;它也明明白白地告訴你,A(e)只是中間假設,在推理結(jié)果中是要消除的。

這里推薦的“半形式化”的系統(tǒng),與自然演繹系統(tǒng)十分接近。因此,我們的結(jié)論是,培養(yǎng)研究型人才的院?；?qū)I(yè),在離散數(shù)學課程中講授自然演繹系統(tǒng)是最好的;培養(yǎng)工程型人才的院?；?qū)I(yè),可以采用我們建議的方式介紹數(shù)理邏輯相關(guān)內(nèi)容;在培養(yǎng)應用型人才的院校或?qū)I(yè)中,則可以只介紹邏輯代數(shù),而把證明技術(shù)的訓練分散到離散數(shù)學其他內(nèi)容的教學過程里。當然,無論是哪一種安排,都不能因為要“通俗易懂”而犧牲知識的科學表述。

參考文獻:

[1] 王元元.計算機科學中的現(xiàn)代邏輯學[M]. 北京:科學出版社,2002.

[2] 王元元.計算機科學中的離散結(jié)構(gòu)[M].北京:機械工業(yè)出版社,2004.

[3]Tremblay J. R, Manohar R. Discrete Mathematical Structure with Applications to Computer Science[M].New York:McGraw-Hill,Inc,1975.

邏輯中的基本推理方式范文第5篇

一、入門階段

教師應該首先激發(fā)學生學習幾何的興趣，然后從概念、作圖、幾何語言的理解、表述和翻譯及推理技能的訓練等環(huán)節(jié)著手，重視邏輯思維能力的啟蒙，幫助學生打好學習幾何的基礎。這個階段要求學生學會用幾何語言說理，注意體會邏輯推理的表達方法。這樣一方面可以使學生鞏固和加深理解概念、公理和定理，另一方面讓學生初步了解推理是怎么一回事。

在平面幾何入門教學中要重點關(guān)注學生從“數(shù)”的學習轉(zhuǎn)入對“形”的研究階段的特點和變化方式，充分利用實驗幾何的教學方法和學習方法，引導學生由實驗幾何向理論幾何過渡，再培養(yǎng)學生用幾何理論進行說理論證的能力，逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，防止學生以直觀代替論證。為此，在小班化教學中教師可采用創(chuàng)設問題情境等方式，小步子、多層次，由易到難、由淺入深地逐步引發(fā)學生思考，調(diào)動學生學習的積極性，啟發(fā)學生觀察事物，突出概念的本質(zhì)屬性與性質(zhì)的運用，在此過程中要特別加強幾何符號語言的訓練。

二、模仿書寫階段

在舉例示范和學生填空練習的同時，補充少量的由兩步至三步推理組成的說明題，讓學生模仿著書寫，可組織巡批、組內(nèi)批改、實物投影等靈活多樣的交流和糾錯方式。通過填空寫推理依據(jù)和簡單論證過程的反復交替練習，使學生能基本建構(gòu)出對簡單的說明題進行說理的過程框架。

這一階段主要是通過定義、定理、平行線、全等三角形幾部分的教學來培養(yǎng)和逐步滲透的，使學生能正確地辨別出條件和結(jié)論，逐步明晰證明的步驟和書寫格式。通過閱讀教材中的每個例題，認真完成教材中的每一個練習，強調(diào)推理論證中的每一步都有根據(jù)，每一對“ ”都言必有據(jù)，都有定義、定理、公理作保證。此外，還要強化學生有意識地熟記一些幾何常用語和證明的“范句”、“范例”為搭建證明書寫步驟和格式做好準備。通過例題、練習訓練逐步總結(jié)出推理的規(guī)律，簡單概括為“從題設出發(fā)，根據(jù)已學過的定義、定理用分析的方法尋求推理的途徑，用綜合的方法寫出證明過程?！?/p>

現(xiàn)以證明“平行線第二個判定定理”為例剖析一下證明中的推理。

已知：直線AB和CD被EF所截，內(nèi)錯角∠3與∠2相等，求證：AB∥CD.

分析：要證明AB∥CD，關(guān)鍵是設法把已知轉(zhuǎn)化為同位角來證明，而這個轉(zhuǎn)化要借用對頂角和等量代換，其推理過程如下：

第一個推理：對頂角相等（大前提）

∠1與∠3是對頂角（小前提）

所以∠1=∠3（結(jié)論）

第二個推理：在等式中，一個量可以用它的等量來代替（大前提）

∠1=∠3，∠3=∠2（小前提）

所以∠1=∠2（結(jié)論）

第三個推理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（大前提）

∠1與∠2是相等的兩個同位角（小前提）

所以AB∥CD（結(jié)論）

可見，這一推導過程是由三個連貫的三段論式，即三項推理組成的。在實際書寫時，我們總是采用簡略的三段論式的形式：

∠3=∠2（已知）

∠1=∠3（對頂角相等）

∠1=∠2（等量代換）

AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

經(jīng)過上述剖析，學生容易了解每一個推理都是不可缺少的，在證明中都占有一定地位，它們構(gòu)成證明的整體，就不致犯未作出同位角相等的判斷，就直接得出兩直線平行的判斷或?qū)⒏鱾€推理的順序不合理地顛倒過來的錯誤。

需要補充強調(diào)的是在代數(shù)學習中也要重視說理的教學。在初中代數(shù)中，含有較多的具有算法性質(zhì)的內(nèi)容，在小班化教學過程中注意把計算步驟與依據(jù)結(jié)合起來，在課堂上可多組織學生討論“算理”，使學生不僅知其然，更能知其所以然，培養(yǎng)學生“代數(shù)推理”的習慣與能力，也可為以后過渡到幾何推理打下良好的基礎。

三、獨立分析、證明較復雜圖形階段

這一階段主要通過相似圖形，圓與平行四邊形等特殊四邊形、正多邊形的結(jié)合教學來培養(yǎng)的。通過審題訓練使學生對題中的每個條件，包括求證的內(nèi)容，一個一個地進行思考，按照定義、公理或定理“由已知想可知”將條件一步步推理聯(lián)想得出新的條件，延伸出盡可能多的條件，避免忽視有些較難找的條件，同時不要忽視題中的“隱含條件”，如圖形中的“對頂角”、“公共的邊和角”、“三角形內(nèi)角和”、“三角形外角”等。

在幾何證明問題的分析過程中通常使用兩種邏輯思維方法：即綜合法和分析法。對于一些思維過程比較簡單的問題，采用分析法或綜合法都可以順利解決問題，但對于思維過程相對復雜的問題，單一地使用其中的一種方法會顯得蒼白無力。只有將二者結(jié)合起來，即從已知出發(fā)想可知、從結(jié)論入手想需知、結(jié)合圖形，尋找出問題的一個契合點，才能順利解決問題。

在這一階段對平面幾何說理題的教學中可采用“三步”教學法：1.做好說理鋪墊；2.進行解題思路訓練；3.善于歸納總結(jié)。在分析每一題時也分三步走：①讀題，分析題意。在小班化教學中可先請學生思考，一個學生口答，進行條件聯(lián)想，每個條件可以得到些什么結(jié)論，把結(jié)論都排列起來；大致梳理一下思路，看哪個結(jié)論對解決問題有利，再進行取舍。②畫出思路圖。根據(jù)剛才羅列的條件，前一個同學的想法，請兩個學生到黑板上畫思路圖，其他同學在下面畫；然后共同評析思路圖。③根據(jù)修正的思路圖寫出語句。兩個學生板演，其余學生寫在本子上，再評析。

此外，當學生經(jīng)歷一定題目量的識圖訓練及變式訓練后，可在小班化教學中采用分組合作的形式總結(jié)出一些典型的常見的基本圖形備用。設計這樣的小班化活動可增強學生的圖感和歸納能力，便于以后在遇到較復雜圖形時產(chǎn)生將復雜的幾何圖形分解為一些基本圖形的意識。其實幾何中再復雜的圖形也是由一些基本圖形復合而成的。只要能夠善于發(fā)現(xiàn)基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，就能使模糊問題清晰化、復雜問題簡單化。幾何中每個定義、定理、公理都對應著一個基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握定義、定理、公理之外的常用圖形，例如：在八年級學生學習“相似圖形”時，可總結(jié)出以下3種常見的基本圖形：平行型、斜交型、垂直型。較復雜圖形如圖1包含了平行型（a），圖2包含了斜交型（b），圖3包含了垂直型（c），圖4包含了垂直型（d）。