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“以錯糾錯”的案例分析

文／羅增儒

在文［1］中，筆者認(rèn)為：“學(xué)生在解題中出錯是學(xué)習(xí)活動的必然現(xiàn)象，教師對錯例的處理是解題教學(xué)的正常業(yè)務(wù)，并且，錯例剖析具有正例示范所不可替代的作用，兩者相輔相成構(gòu)成完整的解題教學(xué)”．下面發(fā)生在特級教師身上的“以錯糾錯”現(xiàn)象，竟能在多家刊物延續(xù)十年之久，則促使筆者進(jìn)一步思考：錯例分析可能對教師的教學(xué)觀念和業(yè)務(wù)素質(zhì)都提出了更高的要求．

一、出示案例

我們先引述3處典型做法．

1.早在1990年，文［2］曾對一道數(shù)列極限題指出“思維定勢在解題中的消極影響”；然后在文［3］、［4］中表達(dá)了同樣的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中將欠妥的認(rèn)識原原本本發(fā)表出來（見原文例4）：

例1若（3an＋4bn）＝8，（6an－bn）＝1，求（3an＋bn）．

學(xué)生對“和的極限等于極限的和”的結(jié)論十分熟悉，受其影響，產(chǎn)生了下列錯誤解法：

由

（3an＋4bn）＝8，

（6an－bn）＝1．

得

3an＋4bn＝8，①

6an-bn＝1．②

①×2－②，可得

bn＝15／9，

并求得an＝4／9．

∴（3an＋bn）＝3an＋bn＝12／9＋15／9＝3．

這是一種錯誤的解法．因為按照極限運算法則，若an＝A，bn＝B，則才有（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B．反之不真，而由（3an＋bn）＝8，

（6an－bn）＝1，

不一定保證an與bn存在．比如

an＝4／3＋（1／3）n2，bn＝1－（1／4）n2，

則有（3an＋4bn）＝8，

但是an與bn均不存在極限．

正解：（3an＋bn）＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）

＝8／3＋1／3＝3．

某些法則或定理，其結(jié)論是在限定條件下產(chǎn)生的．如果平時練習(xí)，限定條件的問題練多了，就容易忽視限定條件，造成對法則、定理理解的偏差，產(chǎn)生定勢思維．教師在課堂教學(xué)時，應(yīng)該把定理、法則成立的條件、適應(yīng)的范圍放在第一位講，就是讓學(xué)生認(rèn)識到條件在結(jié)論中的重要地位，把條件與結(jié)論等同起來強(qiáng)調(diào)，并通過恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明．

要克服思維定勢的消極影響，就要從加強(qiáng)雙基教學(xué)入手，加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本思想和方法的訓(xùn)練，排除由于只靠記憶一些孤立方法與技巧而形成的定勢，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、探索最佳解題方法，讓學(xué)生從不同角度多方位地去考慮問題，拓展思維的深度與廣度．（引文完）

2.數(shù)學(xué)通報1999年第11期（P．43）文［6］記述了一次公開課：在一次公開課評比中，有位老師在講授“數(shù)列極限的運算法則”一課時，曾舉了這樣一個例子（本文記為例2）：

例2已知（2an＋3bn）＝5，（an－bn）＝2，求（an＋bn）．

當(dāng)時有位學(xué)生提出這樣一種解法：

解：設(shè)an＝A，bn＝B，則由題設(shè)可知

（2an＋3bn）＝2an＋3bn＝2A＋3B＝5，①

（аn－bn）＝an－bn＝A－B＝2．②

聯(lián)立①，②解得

A＝11／5，B＝1／5．

∴（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B＝11／5＋1／5＝12／5．

對于上述解法，這位教師結(jié)合數(shù)列極限的運算法則引導(dǎo)學(xué)生提出了問題：an和bn一定存在嗎?

隨后，教師鮮明地指出：由題設(shè)我們不能判斷an和bn是否一定存在，從而上述解法缺乏依據(jù)，是錯誤的．關(guān)于這類問題，我們常用“待定系數(shù)法”求解．

另解：設(shè)an＋bn＝x（2an＋3bn）＋y（an－bn）（其中x，y為待定的系數(shù)），則

an＋bn＝（2x＋y）an＋（3x－y）bn，

從而有

2x＋y＝1，

3x－y＝1．

解之得x＝2／5，y＝1／5．

∴an＋bn＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn），

∴（an＋bn）＝［（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）］＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．

這種講授方法既鞏固了數(shù)列極限的運算法則，又充分暴露了學(xué)生存在的問題，給學(xué)生留下了極為深刻的印象，深受評委們的一致好評．（引文完）

3.江蘇省常州高級中學(xué)（是一所有90年歷史的江南名校）數(shù)學(xué)組根據(jù)多年教學(xué)積累的經(jīng)驗寫了一本書《數(shù)學(xué)題誤解分析（高中）》，其第6章題30如下（見文［7］P．342，本文記為例3）：

例3已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，求（2an＋bn）之值．

誤解：∵（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，

∴

2an＋3bn＝7，①

3an－2bn＝4．②

①×2＋②×3，得

13an＝26，

∴an＝2．

代入式①，得

bn＝1．

∴（2an＋bn）＝2an＋bn＝2×2＋1＝5．

正確解法：設(shè)m（2an＋3bn）＋p（3an－2bn）＝k（2an＋bn）．

其中m，p，k均為待定的整數(shù)，則比較an，bn的系數(shù)得

2m＋3p＝2k，①

3m－2p＝k．②

由式①、②消去k，得

2m＋3p＝2（3m－2p）＝6m－4p，

∴4m＝7p．

當(dāng)m，p分別取7和4時，k＝13．

∴2an＋bn＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）．

∴（2an＋bn）＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．

錯因分析與解題指導(dǎo)：已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，并不意味著an、bn存在，在誤解中利用數(shù)列極限的運算法則：（an±bn）＝an±bn，默認(rèn)an與bn存在，這是錯誤的．要求（2an＋bn），就必須將2an＋bn去用（2an＋3bn）與（3an－2bn）表示出來，為此可以用如正確解答中那樣用待定系數(shù)法來解．顯然m、p的值不是惟一的，但是對不同的m、p之值求得的極限值是相同的，因此可以取使計算較為方便的整數(shù)值．（引文完）

以上詳細(xì)引述的3個例子只有數(shù)字上的微小區(qū)別，而教師（包括評委）的看法是完全一致的．類似的看法還可參見文［8］～［12］．

雖然，大家的看法如此一致，如此長久，但文［6］的作者仍能力排眾議，大聲發(fā)問：“由題設(shè)，真的不能判斷an和bn是否存在嗎?”回答是否定的．教師的“糾錯”比學(xué)生錯得更多．

二、案例分析

我們以例1為主來進(jìn)行分析，弄清學(xué)生的錯誤、教師的錯誤、錯誤的性質(zhì)和應(yīng)吸取的教訓(xùn)等．

1.學(xué)生解法的認(rèn)識

學(xué)生的解法中有兩個合理的成分：其一是能緊緊抓住兩個已知條件，綜合使用；其二是想到運用極限運算法則；得出的極限值也確為所求．

缺點是默認(rèn)了an與bn的存在；也不會整體使用極限運算法則，這可以從3個方面來分析．

（1）知識性錯誤

表現(xiàn)在：沒有驗證an與bn極限的存在性就使用極限運算法則；沒有證明或證明不了an與bn極限的存在性；還不會變通使用（如借用待定系數(shù)法）極限運算法則．

（2）邏輯性錯誤

表現(xiàn)為邏輯上的“不能推出”：跳過an與bn極限存在性的必要前提，直接使用極限運算法則．但此處僅僅為未驗證前提，而并非“前提不真”．對此，“教師”的錯誤性質(zhì)比學(xué)生的默認(rèn)更有問題，下面會談到．

（3）心理性錯誤

表現(xiàn)為“潛在假設(shè)”，默認(rèn)an與bn極限的存在性，既未想到要證明，更未給出證明．

由于在已知條件下，an與bn的極限確實存在，所以，學(xué)生的錯誤屬于“對而不全”，缺少了關(guān)鍵步驟．

這個事實說明，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)活動．其“對而不全”的解法，正是學(xué)生對該數(shù)學(xué)問題的一種“替代觀念”，是建構(gòu)活動的一個產(chǎn)物，既有一定的合理性，又需要完善．接下來的反審活動，有助于學(xué)生掌握元認(rèn)知知識，獲得元認(rèn)知體驗和進(jìn)行元認(rèn)知調(diào)控．

2.教師認(rèn)為“不一定保證an與bn存在”是不對的

事實上，在已知條件下，用待定系數(shù)法不僅可以求（3an＋bn），而且可以求（αan＋βbn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不過是一種更簡單的特殊情況．我們來給出一個更一般的結(jié)論．

命題1若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2，

則當(dāng)a1β2－α2β1≠0時，兩個極限an與bn均存在，且

an＝c1β2－c2β1／α1β2－α2β1，bn＝α1c2－α2c1／α1β2－α2β1．

證明：設(shè)

an＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）

＝（α1x＋α2y）an＋（β1x＋β2y）bn，

令

α1x＋α2y＝1，

β1x＋β2y＝0．

解得x＝β2／（α1β2－α2β1），y＝－β1／（α1β2－α2β1）．

從而

［x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）］

＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）

＝xc1＋yc2＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

即an＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

同理可確定bn極限的存在性，并計算出

bn＝（α1c2－α2c1）／（α1β2－α2β1）．

（1）取α1＝3，β1＝4，c1＝8，α2＝6，β2＝－1，c2＝1，可得an＝4／9，bn＝5／3．這就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出

an＝［（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）］

＝（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）＝8／27＋4／27＝4／9．

bn＝［（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）］

＝（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）＝16／9－1／9＝5／3．

（2）取α1＝2，β1＝3，c1＝5，α2＝1，β2＝－1，c2＝2，這便得例2，有

an＝（1／5）（2an＋3bn）＋（3／5）（an－bn）

＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，

bn＝（1／5）（2an＋3bn）－（2／5）（an－bn）

＝1／5×5－2／5×2＝1／5．

（3）取α1＝2，β1＝3，c1＝7，α2＝3，β2＝－2，c2＝4，這便得例3，確實有an＝2，bn＝1．

應(yīng)該說，求an、bn與求（αan＋βbn）道理是一樣的，為什么會有這么多的教師長期堅持“an、bn不一定存在”呢?這除有知識、邏輯因素外，而對多數(shù)人來說，恐怕還有一個“人云亦云”，迷信權(quán)威、迷信刊物的心理性錯誤．我們說，失去自信比缺少知識更為可怕．

3.反例“an＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4”的錯誤根源

上面已經(jīng)嚴(yán)格證明了an與bn的存在性（以α1β2－α2β1≠0為前提），因而文［2］作者一次又一次重復(fù)給出的反例肯定是錯誤的，問題是應(yīng)該找出錯誤的原因，弄清錯誤的性質(zhì)．

（1）檢驗可以發(fā)現(xiàn)錯誤

把a(bǔ)n＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4代入已知條件，有

（3an＋4bn）＝8＝8．

但（6an－bn）＝（7＋9／4n2）

不存在，更不等于1．

所以，文［2］的反例并不能成為反例．其之所以成為反例，是作者根據(jù)不充分的前提（來驗證第2個條件）得出的，邏輯上犯有“不能推出”的錯誤．

（2）誤舉反例的原因分析

①首先是對題目中有兩個條件重視不夠，在找反例時，主要依據(jù)“若an、bn存在，則（an＋bn）＝an＋bn，反之不真（思維定勢）”．這對只有一個條件是成立的；據(jù)此找出的反例也只驗證第1個條件，而不驗證第2個條件，這可能也是“反之不真”思維定勢的負(fù)遷移．

②其次是對下面的結(jié)論不知道，或未認(rèn)真思考過：

命題2若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2．

則有

（i）當(dāng)α1β2－α2β1≠0時，an、bn均存在；

（ii）當(dāng)α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1＝0時，則an，bn的極限不一定存在．（文［2］的反例適用這一情況）

（iii）當(dāng)α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1≠0，則an，bn的極限均不存在．

這實質(zhì)上是兩直線相交、重合、平行判別法則的移植或線性方程組理論的簡單應(yīng)用．

對比“反例”所表現(xiàn)出來的兩個錯誤根源，我們認(rèn)為主要還是知識原因，由于教師沒有看透題目的數(shù)學(xué)實質(zhì)，從而也沒有看透學(xué)生的錯誤性質(zhì)，所進(jìn)行的大段文字分析缺少數(shù)學(xué)針對性．所以，對每一個教師而言，提高數(shù)學(xué)專業(yè)水平是一個永無止境的課題．

4.試作一個探究性的教學(xué)設(shè)計

本文“以錯糾錯”的例子，持續(xù)了10年以上的時間，發(fā)表在多家刊物上，還出現(xiàn)在文［6］正確糾正之后，這對讀者、編者和作者都有很多教訓(xùn)，也錯過了一個培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的機(jī)會．我們愿在例題數(shù)學(xué)實質(zhì)較為清楚的時候，提出一個教學(xué)設(shè)計，分為7步．

（1）提出問題，暴露學(xué)生的真實思想．

其過程是給出例1（或例2、例3等，還可以根據(jù)命題2編擬3種類型的例題），讓學(xué)生得出不完整的解法．

（2）反思，引發(fā)認(rèn)知沖突．

教師與學(xué)生一起檢查每一步的依據(jù)，發(fā)現(xiàn)使用極限運算法則需要an、bn的存在性做前提．前提存在嗎?有兩種可能：或舉一個反例來否定，或給出一個證明來肯定．

（3）分兩大組自主探索，自我反?。?/p>

按照證實與證偽可以分兩大組，下分小組，每組三五人，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)共同體中自主探索，教師巡回指導(dǎo)，這將是一個十分生動的過程．

（4）得出an、bn的求法．

這樣，學(xué)生的求解就完整了．可以分成三步：

①求an＝…＝4／9；

②求bn＝…＝15／9；

③求（3an＋bn）＝…＝3．

（5）進(jìn)行解題分析，得出改進(jìn)解法．

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：

①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求（3an＋bn）上來．

②先分別求an、bn，再合并得結(jié)論（3an＋bn）有思維回路：

（3an＋4bn）（合）

an

（分）

（6an－bn）（合）

bn

（3an＋bn）．（合）

刪除中間步驟，可得

（3an＋bn）＝［（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）］

＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）＝8／3＋1／3＝3．

（6）探索一般性．

①考慮例1的結(jié)論一般化改為，求（αan＋βbn）；

②考慮條件、結(jié)論均一般化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題1（α1β2－α2β1≠0）；

③再加一個層次，允許α1β2－α2β1＝0，讓學(xué)生再發(fā)現(xiàn)命題2．

（7）運用建構(gòu)主義和元認(rèn)知的觀點（不出現(xiàn)名詞）進(jìn)行總結(jié)．

參考文獻(xiàn)

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本文關(guān)鍵詞：以錯糾錯教學(xué)觀念業(yè)務(wù)素質(zhì)教學(xué)