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摘要：本文將正交曲線坐標(biāo)系下的平面二維水沙數(shù)學(xué)模型和粘性河岸的沖刷模型結(jié)合，用于模擬彎道內(nèi)的水流運(yùn)動(dòng)、懸移質(zhì)泥沙的輸移、河床的縱向及橫向變形.用水槽試驗(yàn)資料驗(yàn)證了本文提出的水流模型，結(jié)果表明流速分布、水位等計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值相當(dāng)符合.應(yīng)用建立的水沙數(shù)學(xué)模型以及河岸沖刷模型，模擬了一概化彎道在持續(xù)清水沖刷下的主流線位置、斷面形態(tài)、主槽比降的變化過(guò)程，模擬結(jié)果符合彎道演變規(guī)律.

關(guān)鍵詞：彎曲河道平面二維水沙數(shù)學(xué)模型河岸沖刷模型河床縱向及橫向變形

彎曲河道是天然河道中常見(jiàn)的一種河流形態(tài)，多年來(lái)人們從各個(gè)方面對(duì)彎曲河道特有的水流運(yùn)動(dòng)規(guī)律、河床演變規(guī)律，進(jìn)行了廣泛的研究[1，2].如張紅武[2]從模型試驗(yàn)和理論分析出發(fā)，較為深入地研究了彎道內(nèi)的水面形態(tài)、環(huán)流運(yùn)動(dòng)以及縱向流速的沿程分布規(guī)律等.隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，以及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，很多研究者開(kāi)始用數(shù)學(xué)方法模擬彎道內(nèi)的水沙運(yùn)動(dòng)及河床變形.最早以engelund[3]、odgaard[4]等人提出的恒定水流模型為代表.近年來(lái)，部分研究者提出的三維數(shù)學(xué)模型，既能模擬彎道內(nèi)的水沙運(yùn)動(dòng)，又能考慮床面的沖淤變化，較以前有了更大的進(jìn)步[5，6].盡管三維數(shù)學(xué)模型可以模擬彎道內(nèi)較為復(fù)雜的水流運(yùn)動(dòng)和河床變形問(wèn)題，不過(guò)在實(shí)際工程中用的最廣的還是平面二維模型[7，8].

通?，F(xiàn)有這些模型只考慮河床的縱向變形，而很少注意彎道內(nèi)的橫向變形問(wèn)題，也即河岸沖刷問(wèn)題.本文針對(duì)當(dāng)前在彎道水流和河床變形模型的研究狀況，以前人的研究結(jié)果為基礎(chǔ)，建立了正交曲線坐標(biāo)下的平面二維水沙數(shù)學(xué)模型，用于模擬彎道內(nèi)的水沙運(yùn)動(dòng)及河床縱向變形；在深入分析河岸沖刷機(jī)理的基礎(chǔ)上，采用力學(xué)模型模擬粘性河岸沖刷、崩塌的過(guò)程.最后利用彎道模型的試驗(yàn)資料，驗(yàn)證了本模型計(jì)算的流場(chǎng)、岸邊水位等與實(shí)測(cè)值符合較好.同時(shí)模擬了90°彎道在持續(xù)清水沖刷下的河床變形過(guò)程，對(duì)主流線、斷面形態(tài)、主槽比降等計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間變化的分析表明，模擬結(jié)果符合彎道變形規(guī)律.

1數(shù)學(xué)模型

本文建立的模型具有如下特點(diǎn)：(1)為適應(yīng)不規(guī)則的岸邊界，建立正交曲線坐標(biāo)下的平面二維水沙模型，并用madi方法[9]求解水流方程組.(2)改進(jìn)以往對(duì)泥沙恢復(fù)飽和系數(shù)取為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)的做法，模型中采用了張紅武[10]提出的不平衡輸沙理論，用于研究懸移質(zhì)泥沙的輸移以及河床變形過(guò)程.(3)引入osman[11]提出的河岸沖刷模型，用于模擬粘性河岸的橫向沖刷過(guò)程以及在重力作用下的崩塌過(guò)程.

1.1平面二維水沙數(shù)學(xué)模型

1.1.1水流基本方程

式中：εξ、εη分別表示ξ、η方向的泥沙擴(kuò)散系數(shù)；s0k、sk、s*k、ωk分別為第k粒徑組泥沙的側(cè)向輸入項(xiàng)、分組含沙量、分組挾沙力及有效沉速；α*、f1、k1分別為平衡含沙量分布系數(shù)，非飽和系數(shù)以及附加系數(shù).

上述3個(gè)參數(shù)以及水流挾沙力的計(jì)算方法，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10].而分組挾沙力級(jí)配以及床沙級(jí)配的計(jì)算方法，見(jiàn)文獻(xiàn)[12].

1.1.3河床縱向變形方程由懸移質(zhì)泥沙不平衡輸移引起的河床縱向變形方程為：

式中：ρ′為床沙干密度，n為非均勻泥沙的分組數(shù).

1.2幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的處理

1.2.1正交曲線網(wǎng)格的生成設(shè)(x,y)為物理平面上的笛卡爾坐標(biāo)系，(ξ,η)為相應(yīng)計(jì)算平面上的變換坐標(biāo)系，用以下方程可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換，即：

求解上述方程組，即可得到物理平面(x,y)與計(jì)算平面(ξ,η)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系.當(dāng)網(wǎng)格正交時(shí)，β=0.控制函數(shù)的具體表達(dá)式，參見(jiàn)文獻(xiàn)[13].

1.2.2初、邊界條件對(duì)初始條件，一般給出水位、流速、含沙量等變量的初值.對(duì)進(jìn)口邊界、給定流量、沙量過(guò)程線，以及含沙量級(jí)配.對(duì)出口邊界、給定水位過(guò)程線，并認(rèn)為s/ξ=0.對(duì)岸邊界，對(duì)水流可采用滑移或無(wú)滑移邊界條件；對(duì)泥沙，可取s/=0(為岸邊界法線方向).

在本文模擬的彎道中，橫斷面由主槽和灘地組成.假設(shè)灘地不過(guò)水，則岸邊界是灘岸，同時(shí)認(rèn)為灘岸可以沖刷.實(shí)際計(jì)算區(qū)域包括灘地和主槽，故采用“凍結(jié)法”技術(shù)[14]處理灘地上那些不過(guò)水的節(jié)點(diǎn).一般岸坡坡頂和坡腳間的水平距離較小，可能遠(yuǎn)小于網(wǎng)格尺寸，在程序中不能分辨.為了能模擬河岸的沖刷過(guò)程，同時(shí)又不增加計(jì)算量，故本文在計(jì)算中用一數(shù)組記錄岸邊相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際地形.

1.3河岸沖刷模型現(xiàn)有的很多泥沙數(shù)學(xué)模型，很少考慮到河岸沖刷問(wèn)題.即使那些考慮了河岸沖刷的模型，往往對(duì)彎道中河岸沖刷機(jī)理、沖刷速率，做了大量的假設(shè)和簡(jiǎn)化.如ikeda[15]認(rèn)為彎道凹岸附近的縱向垂線平均流速大于彎道中心處的垂線平均流速時(shí)，彎道凹岸沖刷，反之則淤積.hasegawa[16]認(rèn)為河岸沖刷速率與近岸的剩余流速成正比，根據(jù)泥沙連續(xù)方程，得出了適用于彎曲河道通用的河岸沖刷系數(shù).不過(guò)，這類(lèi)模型中存在一個(gè)共同缺點(diǎn)，即很少考慮到河岸組成物質(zhì)、土體特性、幾何形態(tài)等對(duì)河岸沖刷的影響.眾所周知，粘性河岸和非粘性河岸的沖刷機(jī)理和沖刷速率是完全不同的.

為準(zhǔn)確模擬河岸的橫向沖刷過(guò)程，必須深入分析河岸沖刷機(jī)理.一般來(lái)講，河岸沖刷后退是河岸土體和近岸水流相互作用的結(jié)果.除了岸邊植被生長(zhǎng)情況、河道內(nèi)水位升降、滲流、管涌等因素影響河岸后退外，但主要是以下2種情況，是導(dǎo)致河岸后退的主要原因：(1)通過(guò)水流直接橫向沖刷河岸導(dǎo)致河岸后退.近岸水流直接作用于河岸，沖動(dòng)河岸邊坡上水面以下的表層土體，并被水流帶走，從而導(dǎo)致河岸后退.(2)通過(guò)河岸崩塌導(dǎo)致河岸后退.崩塌是河岸上的一部分土體在重力作用下，沿某一滑動(dòng)面發(fā)生移動(dòng)的過(guò)程.一般床面發(fā)生沖刷，導(dǎo)致河岸高度增加，或者水流淘刷河岸坡腳，使河岸坡度變陡，都會(huì)降低河岸的穩(wěn)定性，當(dāng)河岸的穩(wěn)定性降低到一定程度后，河岸便會(huì)發(fā)生崩塌，導(dǎo)致岸邊界后退.

圖1粘性河岸沖刷的計(jì)算模式

本文主要考慮粘性河岸的沖刷后退過(guò)程，采用osman[11]提出的河岸沖刷模型(圖1).該模型首先計(jì)算河岸橫向沖刷距離，然后分析河岸是否會(huì)失穩(wěn)、崩塌.在δt(sec)時(shí)間內(nèi)，粘性河岸被水流橫向沖刷后退的距離為：

式中：γs河岸土體的容重(kn/m3)；δb為δt時(shí)間內(nèi)河岸因水流橫向沖刷而后退的距離(m)；τ為作用在河岸上的水流切應(yīng)力(n/m2)；τc為河岸土體的起動(dòng)切應(yīng)力(n/m2).cl為橫向沖刷系數(shù)，取決于河岸土體的物理化學(xué)特性.

當(dāng)由式(7)得河槽沖寬δb，用平面二維水沙模型算出河床沖深δz后，河岸高度增加，坡度變陡，穩(wěn)定性降低.根據(jù)土力學(xué)中的邊坡穩(wěn)定性關(guān)系，采用若干假定，可得到河岸發(fā)生初次崩塌時(shí)的臨界條件.若河岸已發(fā)生初次崩塌，則假定以后的河岸崩塌方式為平行后退，即崩塌后的邊坡角度恒為β，仍可用土力學(xué)的方法判斷是否會(huì)發(fā)生二次崩塌.

1.4計(jì)算方法和求解過(guò)程首先，采用madi法[9]計(jì)算流場(chǎng).這種方法采用非交錯(cuò)網(wǎng)格，將水位、流速等變量均布置在同一網(wǎng)格點(diǎn)上，對(duì)水流連續(xù)方程和動(dòng)量方程均不按方向剖開(kāi)，由此將基本運(yùn)動(dòng)方程離散而形成新的差分代數(shù)方程組，并建立一種新的解法.具體求解過(guò)程如下：對(duì)式(1)進(jìn)行差分離散，時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用前差表示，空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用中心差分表示，將時(shí)間步長(zhǎng)δt分成兩部分.在前半時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，利用連續(xù)方程(1)、ξ方向動(dòng)量方程(2)，沿ξ方向采用隱式離散，對(duì)η方向采用顯式離散，求解得zn+1/2,un+1/2，再利用η方向動(dòng)量方程(3)，顯式求解得vn+1/2.在后半時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，利用式(1)、(3)，沿η方向采用隱式離散，對(duì)ξ方向采用顯式離散，求解得zn+1，vn+1，再利用式(2)，顯式求解得un+1.由于要進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的河床變形計(jì)算，計(jì)算量特別大，在實(shí)際計(jì)算中通常用偽恒定方法計(jì)算出恒定流場(chǎng).然后，采用顯隱混合格式計(jì)算懸移質(zhì)含沙量分布.先按不同方向ξ、η對(duì)式(4)進(jìn)行算子分裂，在前半步長(zhǎng)內(nèi)，對(duì)ξ方向的分步方程用指數(shù)格式顯式離散求得sn+1/2，在后半步長(zhǎng)內(nèi)，對(duì)η方向的分步方程用crank-nicholson型格式隱式離散求得sn+1.以時(shí)間為迭代參數(shù)，計(jì)算出恒定的濃度場(chǎng).

最后，顯式求解式(5)，可得出時(shí)段末的床面高程.在已知河床變形的基礎(chǔ)上，采用河岸沖刷模型，模擬彎曲河道河岸沖刷后退的過(guò)程，具體計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)［12］.此外，本文在計(jì)算中還采用以下假定：直接從河岸沖刷下來(lái)的和河岸崩塌后產(chǎn)生的泥沙，全部轉(zhuǎn)化為懸移質(zhì)泥沙，并作為下一個(gè)時(shí)段的側(cè)向輸沙量.

2模型的驗(yàn)證

為了準(zhǔn)確模擬彎道的河床變形過(guò)程，本文首先對(duì)水流模型進(jìn)行驗(yàn)證.驗(yàn)證的資料來(lái)自羅索夫斯基[1]的180°彎道的水槽試驗(yàn)資料.該水槽由一6m長(zhǎng)的順直進(jìn)口段、180°的彎道段以及3m長(zhǎng)的出口段組成.水槽寬度為0.80m，過(guò)水?dāng)嗝鏋榫匦?彎道外半徑為1.2m，內(nèi)半徑為0.4m.計(jì)算中的水流條件如下：流量為12.3×10-3m3/s，進(jìn)口斷面選在水槽進(jìn)口以下2m處；出口斷面選在距水槽出口0.1m處，斷面水深為0.054m.水槽糙率取0.012，計(jì)算區(qū)域內(nèi)共劃分網(wǎng)格數(shù)為95×11.

圖2彎道凹岸與凸岸岸邊水位的沿程分布

圖3縱向垂線平均流速分布

圖2給出了彎道中凹岸和凸岸水位沿程變化情況.從圖中可以看出，在彎道進(jìn)口段，凹岸和凸岸的水位基本相同；在彎道段，凹岸水位明顯高于凸岸；在彎道出口段，兩岸水位基本相同.盡管計(jì)算值略小于實(shí)測(cè)值，但兩者的變化趨勢(shì)相當(dāng)符合，當(dāng)水流由順直河段進(jìn)入彎道后，由于受到離心力的作用，使彎道凹岸一側(cè)的水位恒高于凸岸一側(cè)，最大水位差一般出現(xiàn)在彎道頂點(diǎn)附近，而向上下游兩個(gè)方向逐漸減少.由于未能考慮彎道內(nèi)橫向環(huán)流對(duì)水流動(dòng)量方程的影響，從而導(dǎo)致水位計(jì)算值總體偏小.

圖3給出了縱向垂線平均流速的沿程分布情況.從圖可知，實(shí)測(cè)值與計(jì)算值符合較好，尤其在彎道的進(jìn)口段附近.從圖中還可以看出，在彎道的進(jìn)口段，最大縱向平均流速的位置(主流線)緊靠凸岸；在彎道段，主流線仍緊靠凸岸；在彎道出口段附近，主流線逐漸向凹岸轉(zhuǎn)移.出彎后的水流，在相當(dāng)長(zhǎng)的距離內(nèi)，最大流速仍靠近外側(cè)(凹岸).