與三角形有關(guān)的線段
前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇與三角形有關(guān)的線段范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發(fā)現(xiàn)更多的寫作思路和靈感。
與三角形有關(guān)的線段范文第1篇
一、證明題中作垂線段的方法
例1如圖1，已知在RtABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點P是AC邊上一點，在BC邊上取一點D，使PB=PD，過點D作DE AC于點E，請求出線段PE與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。
分析：從圖形上觀察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜邊，與等腰三角形斜邊有一半關(guān)系的就是斜邊上的中線，由于∠PED=90°，為了便于證明全等，故而自然想到過點B作BFAC，利用BF=PE證明PE =AC。
解：PE=12AC
證明如下：
作BFAC（如圖2），
ABC是等腰直角三角形，CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。
PB=PD，∠PBD=∠PDB，∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°
∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，
∠1=∠2。又∠PFB=∠DEP=90°，
PFB≌DEP（AAS）， PE=BF=12AC。
點評：三角形中有許多定理是通過作垂線段證明兩條線段相等，如等腰三角形中的三線合一定理，角平分線上點到角兩端的距離相等，等等。在相應(yīng)的背景下，只需作出垂線即有兩條相等線段，這些相等線段可以是題目所求證的線段，也可以作為中間量轉(zhuǎn)化為其他需要證明的線段。而本題中，首先問題背景是等腰直角三角形，其次，求的線段PE也在一個直角三角形中，這兩個都是作垂線段作為輔助線的暗示條件，于是線段BF這條輔助線也就順理成章了。
二、算題中作垂線段的方法
1.利用作垂線段分割或補全圖形求三角形面積 例2如圖3，已知平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求ABC的面積。
分析：從圖3中可以看到ABC斜放在直角坐標(biāo)系中，而且從圖形上看也不是直角三角形，所以不論以哪條邊為底，求相應(yīng)對的高都很復(fù)雜，甚至無從下手.此時，可聯(lián)系不規(guī)則圖形的算.法，采用割補法，先用作垂線段的方法將ABC補全成長方形，再減去三個三角形就得ABC的面積，而三個三角形都是直角三角形非常容易求面積。
解：作CDx軸，CEy軸，如圖4，
C（4，3），CE=4，CD=3
A（0，1），B（2，0） OA=1，OB=2
SABC=3×4-SAOB-SBCD-SACE=4
點評：平面直角坐標(biāo)系中的三角形問題背景下，比如求三角形上某個點的坐標(biāo)，或者求圖形的面積等，這兩個也是作垂線段作為輔助線的暗示條件，或分割，或補全，或?qū)ふ抑苯侨切芜M行計算，之后就能有清晰的解題思路了.
2.作垂線段，通過直角三角形的邊角關(guān)系計算 例3如圖5，ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，以BC為邊向上面作等邊BCD，
BD與AC交于點E，取CD的中點F，連接BF交AC于點G.
（1）求證：ABE≌CBG； （2）若BG=2，求DE的長.
分析：本題有兩小題，第一小題證明全等是為第二小題通過求BD，BE再求DE而服務(wù)的，而全等的條件也比較明顯，此處不詳述.第二小題已知BG求DE，乍一看是沒有任何聯(lián)系的兩條線段，細(xì)想之下，DE是線段BD的一部分，而BE=BG=2，所以問題就轉(zhuǎn)化為求線段BD，而與BD相等的線段BC與BG在同一個BCG中，仔細(xì)思考這個三角形的特征，它有兩個特殊角∠GBC=30°，∠GCB=45°，于是可以過點G作垂線段GH，利用直角三角形殊角對應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系解決這個問題.
解：（2）作GHBC，如圖6，RtBGH中，∠GBC=30°，
GH=12BG=1，∠GCB=45°，
等腰RtCGH中 CH=GH=1，
BC=1+3， BCD是等邊三角形
BD=BC=1+3，DE=BD-BE=1+3-2=3-1.
與三角形有關(guān)的線段范文第2篇
第一部分
常見輔助線做法
等腰三角形:
1.
作底邊上的高，構(gòu)成兩個全等的直角三角形
2.
作一腰上的高；
3
.過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構(gòu)成直角三角形。
梯形
1.
垂直于平行邊
2.
垂直于下底，延長上底作一腰的平行線
3.
平行于兩條斜邊
4.
作兩條垂直于下底的垂線
5.
延長兩條斜邊做成一個三角形
菱形
1.
連接兩對角
2.
做高
平行四邊形
1.
垂直于平行邊
2.
作對角線——把一個平行四邊形分成兩個三角形
3.
做高——形內(nèi)形外都要注意
矩形
1.
對角線
2.
作垂線
很簡單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A字形等。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。
也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
解幾何題時如何畫輔助線?
①見中點引中位線，見中線延長一倍
在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關(guān)問題。
②在比例線段證明中，常作平行線。
作平行線時往往是保留結(jié)論中的一個比，然后通過一個中間比與結(jié)論中的另一個比聯(lián)系起來。
③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有
1、過上底的兩端點向下底作垂線
2、過上底的一個端點作一腰的平行線
3、過上底的一個端點作一對角線的平行線
4、過一腰的中點作另一腰的平行線
5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交
6、作梯形的中位線
7、延長兩腰使之相交
四邊形
平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。
梯形里面作高線，平移一腰試試看。
平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。
等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線
初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談
人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。
一．添輔助線有二種情況：
1按定義添輔助線：
如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。
2按基本圖形添輔助線：
每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們
把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：
（1）平行線是個基本圖形：
當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線
（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：
當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：
出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形
出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。
（5）三角形中位線基本圖形
幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。
（6）全等三角形：
全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線
（7）相似三角形：
相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。
（8）特殊角直角三角形
當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進行證明
（9）半圓上的圓周角
出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。
二．基本圖形的輔助線的畫法
1.三角形問題添加輔助線方法
方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。
方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。
方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。
方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。
2.平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：
（1）連對角線或平移對角線：
（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形
（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線
（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。
（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.
3.梯形中常用輔助線的添法
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：
（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形內(nèi)平移兩腰
（4）延長兩腰
（5）過梯形上底的兩端點向下底作高
（6）平移對角線
（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。
（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。
（9）作中位線
當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。
4.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。
（1）見弦作弦心距
有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。
（2）見直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角“這一特征來證明問題。
（3）見切線作半徑
命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用“切線與半徑垂直“這一性質(zhì)來證明問題。
（4）兩圓相切作公切線
對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。
（5）兩圓相交作公共弦
對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法
一：中點、中位線，延線，平行線。
如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。
二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。
如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。
三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。
四:造角、平、相似，和、差、積、商見。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?/p>
托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）
五：兩圓若相交，連心公共弦。
如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。
六：兩圓相切、離，連心，公切線。
如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。
七：切線連直徑，直角與半圓。
如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。
如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。
如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。
如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。
有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。
九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>
如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。
如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。
另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?/p>
第二部分
?？碱}型解析
三角形中作輔助線的常用方法舉例
一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：
例1：已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC
于M、N，
在AMN中，AM＋AN
＞
MD＋DE＋NE;（1）
在BDM中，MB＋MD＞BD；
（2）
在CEN中，CN＋NE＞CE；
（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法二：）如圖1-2，
延長BD交
AC于F，延長CE交BF于G，
在ABF和GFC和GDE中有：
AB＋AF＞
BD＋DG＋GF?（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。
分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；
證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是EDC的外角，
∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∠BDC＞∠BAC
證法二：連接AD，并延長交BC于F
∠BDF是ABD的外角
∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。
三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：
例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。
分析：要證BE＋CF＞EF
，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。
證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，
在DBE和DNE中：
DBE≌DNE
（SAS）
BE＝NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）
同理可得：CF＝NF
在EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE＋CF＞EF。
注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。
四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。
例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF
證明：延長ED至M，使DM=DE，連接
CM，MF。在BDE和CDM中，
BDE≌CDM
（SAS）
又∠1＝∠2，∠3＝∠4
（已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）
∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°
∠FDM＝∠EDF
＝90°
在EDF和MDF中
EDF≌MDF
（SAS）
EF＝MF
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE＋CF＞EF
注：上題也可加倍FD，證法同上。
注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。
五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。
例如：如圖5-1：AD為
ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。
分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：
AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋
BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD
AD為ABC的中線
（已知）
BD＝CD
（中線定義）
在ACD和EBD中
ACD≌EBD
（SAS）
BE＝CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）
AB＋AC＞2AD。
（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）
練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，
求證EF＝2AD。
六、截長補短法作輔助線。
例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點。求證：AB－AC＞PB－PC。
分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，
再連接PN，則PC＝PN，又在PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
證明：（截長法）
在AB上截取AN＝AC連接PN
,
在APN和APC中
APN≌APC
（SAS）
PC＝PN
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在BPN中，有
PB－PN＜BN
（三角形兩邊之差小于第三邊）
BP－PC＜AB－AC
證明：（補短法）
延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，
在ABP和AMP中
ABP≌AMP
（SAS）
PB＝PM
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
又在PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)
AB－AC＞PB－PC。
七、延長已知邊構(gòu)造三角形：
例如：如圖7-1：已知AC＝BD，ADAC于A
，BCBD于B，
求證：AD＝BC
分析：欲證
AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。
證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，
ADAC
BCBD
（已知）
∠CAE＝∠DBE
＝90°
（垂直的定義）
在DBE與CAE中
DBE≌CAE
（AAS）
ED＝EC
EB＝EA
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）
八
、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC
求證：AB=CD。
分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。
證明：連接AC（或BD）
AB∥CD
AD∥BC
（已知）
∠1＝∠2，∠3＝∠4
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
在ABC與CDA中
ABC≌CDA
（ASA）
AB＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）
九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
例如：如圖9-1：在RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CEBD的延長于E
。求證：BD＝2CE
分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。
證明：分別延長BA，CE交于點F。
BECF
（已知）
∠BEF＝∠BEC＝90°
（垂直的定義）
在BEF與BEC中，
BEF≌BEC（ASA）CE=FE=CF
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
∠BAC=90°
BECF
（已知）
∠BAC＝∠CAF＝90°
∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∠BDA＝∠BFC
在ABD與ACF中
ABD≌ACF
（AAS）BD＝CF
（全等三角形對應(yīng)邊相等）
BD＝2CE
十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。
例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。
分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。
證明：連接BC，在ABC和DCB中
ABC≌DCB
(SSS)
∠A＝∠D
(全等三角形對應(yīng)邊相等)
十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。
例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D
求證：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABN≌
DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有NBM≌NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。
證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中
ABN≌DCN
（SAS）
∠ABN＝∠DCN
NB＝NC
（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）
在NBM與NCM中
NMB≌NCM，(SSS)
∠NBC＝∠NCB
（全等三角形對應(yīng)角相等）∠NBC＋∠ABN
＝∠NCB＋∠DCN
即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中線段的比值
例1.
如圖1，在ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：過點D作DG//AC，交BF于點G
所以DG：FC＝BD：BC
因為BD：DC＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG
因為DG：AF＝DE：AE
又因為AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2
即
所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2.
如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：過點C作CG//DE交AB于點G，則有EF：GC＝AF：AC
因為AF＝FC
所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因為CG：DE＝BC：BD
又因為BC＝CD
所以BC：BD＝1：2
CG：DE＝1：2
即DE＝2GC
因為FD＝ED－EF＝
所以EF：FD＝
小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！
例3.
如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：過點B作BG//AD，交CE延長線于點G。
所以DF：BG＝CD：CB
因為BD：DC＝1：3
所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因為AF：BG＝AE：EB
又因為AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3
即
所以AF：DF＝
例4.
如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
解：過點D作DG//CE，交AB于點G
所以EF：DG＝AF：AD
因為AF＝FD
所以AF：AD＝1：2
圖4
即EF：DG＝1：2
因為DG：CE＝BD：BC，又因為BD：CD＝1：3，
所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因為FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
練習(xí)：
1.
如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2.
如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
答案：1、1：10；
2.
9：1
初中幾何輔助線
一
初中幾何常見輔助線口訣
人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀?/p>
平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。
上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。
等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項一大片。
圓形
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。
注意點
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。
基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。
二
由角平分線想到的輔助線
口訣：
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。
①從角平分線上一點向兩邊作垂線；
②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。
通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。
與角有關(guān)的輔助線
（一）、截取構(gòu)全等
幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。
如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OED≌OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。
例1．
如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。
分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。
簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。
例2．
已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DCAC
分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。
例3．
已知：如圖1-4，在ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD
分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？
練習(xí)
1．
已知在ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC
2．
已知：在ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE
3．
已知：在ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC
4．
已知：D是ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等
過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。
例1．
如圖2-1，已知AB>AD,
∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求證：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。
例2．
如圖2-2，在ABC中，∠A=90?，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求證：BC=AB+AD
分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。
例3．
已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。
分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。
練習(xí)：
1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA，PDOA，
如果PC=4，則PD=（
）
A
4
B
3
C
2
D
1
2．已知在ABC中，∠C=90?，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如圖2-5,
∠BAC=∠CAD,AB>AD，CEAB，
AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180?。
4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD
的中點，F(xiàn)為BC
上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。
5．
已知：如圖2-7，在RtABC中，∠ACB=90?,CDAB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。
（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形
從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。
例1．
已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）
分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。
例2．
已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90?，AD為∠ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。
分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。
例3．已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。
求證：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。
例4．
已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）
分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。
練習(xí)：
1．
已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。
2．
已知BE、BF分別是ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC
（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線
有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。
1
2
A
C
D
B
例4
如圖，AB>AC,
∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。
例5
如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6
如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。
練習(xí)：
1.
已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。
C
A
B
2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DCAC
A
B
D
C
1
2
3．已知CE、AD是ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CD
A
E
B
D
C
4．已知：如圖在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+AD
A
B
C
D
三
由線段和差想到的輔助線
口訣：
線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：
1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；
2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。
對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。
一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：
例1、
已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.
證明：（法一）
將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，
在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）
在BDM中，MB+MD>BD；（2）
在CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
AB+AC>BD+DE+EC
（法二：圖1-2）
延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）
GF+FC>GE+CE（同上）（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。
分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；
證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是EDC的外角，
∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∠BDC>∠BAC
證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是ABD的
外角，∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。
三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：
例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。
分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。
證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，
在DBE和NDE中：
DN=DB（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
ED=ED（公共邊）
DBE≌NDE（SAS）
BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）
同理可得：CF=NF
在EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE+CF>EF。
注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。
四、截長補短法作輔助線。
例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點
求證：AB-AC>PB-PC。
分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN
即：AB-AC>PB-PC。
證明：（截長法）
在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中
AN=AC（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共邊）
APN≌APC（SAS）,PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在BPN中，有PB-PN
BP-PC
證明：（補短法）
延長AC至M，使AM=AB，連接PM，
在ABP和AMP中
AB=AM（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共邊）
ABP≌AMP（SAS）
PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）
又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)
AB-AC>PB-PC。
D
A
E
C
B
例1．如圖，AC平分∠BAD，CEAB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。
例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，
求證：∠ADC+∠B=180o
例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求證：BC=AB+DC。
M
B
D
C
A
例4如圖，已知RtABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。
1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A
2.如圖，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，
BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE
四
由中點想到的輔助線
口訣：
三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。
在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。
（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形
即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。
例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。
解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
ΔCDF的面積為。
（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線
例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。
證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，
ME是ΔBCD的中位線，
MECD，∠MEF=∠CHE，
MF是ΔABD的中位線，
MFAB，∠MFE=∠BGE，
AB=CD，ME=MF，∠MEF=∠MFE，
從而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中線應(yīng)想到延長中線
例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。
解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，
從而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
BD===，故BC=2BD=2。
例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。
證明：延長AD到E，使DE=AD。
仿例3可證：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∠1=∠E，
AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)
例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。
證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
AB//DC，
∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線
例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。
證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
ΔBEF≌ΔBEC，EF=EC，從而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
ΔABD≌ΔACF，BD=CF，BD=2CE。
注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。
（六）中線延長
口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。
題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。
例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。
證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，
BD=CD（中點定義）
∠1=∠5（對頂角相等）
ED=MD（輔助線作法）
BDE≌CDM（SAS）
又∠1=∠2，∠3=∠4（已知）
∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）
∠3+∠2=90°
即：∠EDF=90°
∠FDM=∠EDF=90°
在EDF和MDF中
ED=MD（輔助線作法）
∠EDF=∠FDM（已證）
DF=DF（公共邊）
EDF≌MDF（SAS）
EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE+CF>EF
上題也可加倍FD，證法同上。
注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。
例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。
分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE
AD為ABC的中線（已知）
BD=CD（中線定義）
在ACD和EBD中
BD=CD（已證）
∠1=∠2（對頂角相等）
AD=ED（輔助線作法）
ACD≌EBD（SAS）
BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）
在ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）
AB+AC>2AD。
練習(xí)：
1
如圖，AB=6，AC=8，D為BC
的中點，求AD的取值范圍。
B
A
D
C
8
6
2
如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。
B
E
C
D
A
3
如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AMDC。
D
M
CD
ED
AD
BD
4，已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。
A
B
D
C
E
F
5．已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC
五
全等三角形輔助線
找全等三角形的方法：
（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；
（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形中常見輔助線的作法：
①延長中線構(gòu)造全等三角形；
②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；
③引平行線構(gòu)造全等三角形；
④作連線構(gòu)造等腰三角形。
常見輔助線的作法有以下幾種：
1)
遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．
2)
遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．
3)
遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．
4)
過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”
5)
截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．
（一）、倍長中線（線段）造全等
1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.
2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.
3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.
中考應(yīng)用
（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖①
當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是
，
線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是
；
（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0
（二）、截長補短
1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC
2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AC+BD
3：如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP
4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：
5:如圖在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC
中考應(yīng)用
（08海淀一模）
（三）、平移變換
1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證＞.
2：如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.
（四）、借助角平分線造全等
1：如圖，已知在ABC中，∠B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD
2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分∠BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.
（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.
中考應(yīng)用
（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；
(第23題圖)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
圖①
圖②
圖③
（2）如圖③，在ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
（五）、旋轉(zhuǎn)
1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).
2：D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。
（1）
當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。
（2）
若AB=2，求四邊形DECF的面積。
3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為
；
中考應(yīng)用
（07佳木斯）已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
（圖1）
（圖2）
（圖3）
（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.
（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.
探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．
圖1
圖2
圖3
（I）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是
；
此時
；
（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（III）
如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，
若AN=，則Q=
（用、L表示）．
六
梯形的輔助線
口訣：
梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。
通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：
作法
圖形
平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。
平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。
延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。
作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。
中位線與腰中點連線。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.
如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.
求CD的長.
解：過點D作DE∥BC交AB于點E.
又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在RtDAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。
解：過點B作BM//AD交CD于點M，
在BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范圍是：
5－4
2、平移兩腰：
例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。
解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
則EGH是直角三角形
因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點
所以
3、平移對角線：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．
解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點．
A
B
D
C
E
H
AD∥BC
四邊形ACED是平行四邊形
BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
在DBE中，
BD=3，DE=4，BE=5
∠BDE=90°．
作DHBC于H，則
．
例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。
解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，
易得四邊形BCED是平行四邊形，
則DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在ACE中，，
從而ACCE，于是ACBD。
例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。
解：過點D作DE//AC，交BC的延長線于點E，
則四邊形ACED是平行四邊形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。
（二）、延長
即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。
例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。
解：延長BA、CD交于點E。
在BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，從而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8.
如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.
判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.
解：四邊形ABCD是等腰梯形.
證明：延長AD、BC相交于點E，如圖所示.
AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
DAB≌CBA.
∠DAB＝∠CBA.
EA＝EB.
又AD＝BC，DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∠EDC＝∠EAB，DC∥AB.
又AD不平行于BC，
四邊形ABCD是等腰梯形.
（三）、作對角線
即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。
例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，BC=CD，BECD于點E，求證：AD=DE。
解：連結(jié)BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以RtBAD≌RtBED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一條高
例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線ACBD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。
證：過點D作DGAB于點G，
則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因為AB=2DC，所以AG=GB。
從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。
2、作兩條高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的長；(2)梯形ABCD的面積．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AEBC于E，DFBC于F，又AD∥BC，
四邊形AEFD是矩形，
EF=AD=3cm
AB=DC
在RtABE中，∠B=60°，BE=1cm
AB=2BE=2cm，
例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。
證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。
在RtABE和RtDCF中，
因為AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在RtBDF和RtCAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位線
1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。
例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。
證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①
在AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以
②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。
例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF//AD；（2）。
證：連接DF，并延長交BC于點G，易證AFD≌CFG
則AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線
從而EF//BG，且
因為AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BAD=900，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分別延長AE與BC
，并交于F點
∠BAD=900且AD∥BC
∠FBA=1800－∠BAD=900
又AD∥BC
∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯角相等)
∠AED=∠FEC
（對頂角相等）
DE=EC
（E點是CD的中點）
ADE≌FCE
（AAS）
AE=FE
在ABF中∠FBA=900
且AE=FE
BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
在FEB中
∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+
∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？
解：AE=BE，理由如下：
延長AE，與BC延長線交于點F．
DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
ADE≌FCE
AE=EF
ABBC，
BE=AE．
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點，EFAB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．
解：如圖，過E點作MN∥AB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點．
A
B
C
D
E
F
M
N
DE=EC，AD∥BC
DEM≌CNE
四邊形ABNM是平行四邊形
EFAB，
S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2．
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
1.
若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為__________cm.
2.
如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長為（
）
A.
19
B.
20
C.
21
D.
22
3.
如圖所示，AB∥CD，AEDC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（
）
A.
130
B.
140
C.
150
D.
160
*4.
如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長.
5.
如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.
6.
如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ACBD，AD＋BC＝10，DEBC于E，求DE的長.
7.
如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長.
**8.
如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中點，且AD＋BC＝CD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點，則DE與CE有何位置關(guān)系？
1．圓中作輔助線的常用方法：
（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。
（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。
（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點，連結(jié)此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。
（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。
（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經(jīng)常是：①如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定理。
②如圖1（下）延長AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得RtABE。
圖1（上）
圖1（下）
（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，
（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。
（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結(jié)果。
（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。
（10）對于圓的內(nèi)接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。
例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點，BD為AB的延長線，∠OAB=500，求∠CBD的度數(shù)。
解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500
B是弧AC的中點
弧AB=弧BC
AB==BC
又OA=OB=OC
AOB≌BOC（S.S.S）
圖2
∠OBC=∠ABO=500
∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∠CBD=1800
-
500-
500
∠CBD=800
答:∠CBD的度數(shù)是800.
例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。
證明：連接AC，則∠DPA=∠C+∠A
∠C的度數(shù)=弧AD的度數(shù)
∠A的度數(shù)=弧BC的度數(shù)
∠APD=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。
圖3
一、造直角三角形法
1.構(gòu)成Rt,常連接半徑
例1.
過O內(nèi)一點M
,最長弦AB
=
26cm,最短弦CD
=
10cm
,求AM長;
2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角
例2.
AB是O的直徑,AC切O于A,CB交O于D,過D作O的切線,交AC于E.
求證:CE
=
AE;
3.遇有切線,常作過切點的半徑
例3
.割線AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.
求證:∠OAE
=
∠OBF;
4.遇有公切線,常構(gòu)造Rt(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長)
例4
.小
O1與大O2外切于點A,外公切線BC、DE分別和O1、O2切于點B、C和D、E，并相交于P，∠P
=
60°。
求證：O1與O2的半徑之比為1：3；
5．正多邊形相關(guān)計算常構(gòu)造Rt
例5.O的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.
二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段
例6.
AB是O的直徑,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求證:EC
=
DF;
(2)若AE
=
2,CD=BF=6,求O的面積;
三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形
例7.
AB是O直徑,弦CDAB,M是上一點,AM延長線交DC延長線于F.
求證:
∠F
=
∠ACM;
四、切線的綜合運用
1．已知過圓上的點，常_________________
例8.如圖，
已知：O1與O2外切于P，AC是過P點的割線交O1于A，交O2于C，過點O1的直線AB
BC于B.求證：
BC與O2相切.
例9.如圖，AB是O的直徑，AE平分∠BAF交O于E，過E點作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB于C點．
求證：CD與O相切于點E．
2.兩個條件都沒有,常___________________
例10.
如圖，AB是半圓的直徑，
AMMN，BNMN，如果AM+BN＝AB，求證:
直線MN與半圓相切；
例11.等腰ABC中,AB=AC,以底邊中點D為圓心的圓切AB邊于E點.
求證:AC與D相切;
例12．菱形ABCD兩對角線交于點O，O與AB相切。
求證：O也與其他三邊都相切；
五、兩圓相關(guān)題型
1．兩圓相交作_____________________
例13.O1與O2相交于A、B，過A點作直線交O1于C點、交O2于D點，過B點作直線交O1于E點、交O2于F點.
求證:CE∥DF;
2.相切兩圓作________________________
例14.
O1與O2外切于點P,過P點的直線分別交O1與O2于A、B兩點，AC切O1于A點，BC交O2于D點。
求證：∠BAC
=
∠BDP；
3．兩圓或三圓相切作_________________
例15.以AB=6為直徑作半O,再分別以O(shè)A、OB為直徑在半O內(nèi)作半O1與半O2，又O3與三個半圓兩兩相切。
求O3的半徑；
4．一圓過另一圓的圓心，作____________
例16.兩個等圓O1與O2相交于A、B
兩點，且O1過點O2，過B點作直線交O1于C點、交O2于D點.
求證：ACD是等邊三角形；
六、開放性題目
例17．已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點，且過點的切線平分邊．
（1）與是否相切？請說明理由；
（第23題）
（2）當(dāng)滿足什么條件時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由．
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教學(xué)拾萃（一）
與三角形有關(guān)的線段范文第3篇
問：何謂教學(xué)目標(biāo)？一條規(guī)范的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)包括哪些要素？
答：關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的定義，國內(nèi)外教育專家的提法不盡相同，也因此導(dǎo)致當(dāng)前教學(xué)目標(biāo)設(shè)置亂象的現(xiàn)狀。目前比較公認(rèn)的教學(xué)目標(biāo)定義是：教學(xué)目標(biāo)是預(yù)期學(xué)生通過各種學(xué)習(xí)活動獲得的全部學(xué)習(xí)結(jié)果。從這個定義可以析出：教學(xué)目標(biāo)至少有三個基本要素――目標(biāo)指向的對象；學(xué)習(xí)活動；學(xué)習(xí)結(jié)果。但描述學(xué)習(xí)活動需要說明學(xué)習(xí)的載體、活動的方式等。評價學(xué)習(xí)結(jié)果需要說明特定的限制和達到的程度。因此，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的詳略其組成要素又有三要素說、四要素說、五要素說等。一般地，在不會引起誤解或多種解釋的前提下，目標(biāo)指向的對象可以省略；由于獲得學(xué)習(xí)結(jié)果往往需要多項學(xué)習(xí)策略，為避免教學(xué)目標(biāo)的復(fù)雜性表述學(xué)習(xí)活動一般不具體（甚至可以省略）。因此，一般地，一條教學(xué)目標(biāo)包含4個要素：學(xué)習(xí)活動（策略性的，用行為動詞來界定）；學(xué)習(xí)結(jié)果（教學(xué)目的，用性能動詞來界定）；特定的限制（評價學(xué)習(xí)結(jié)果所需要的特定限制）；達到學(xué)習(xí)結(jié)果的程度（學(xué)習(xí)之后預(yù)期達到的最低表現(xiàn)水準(zhǔn)）。從教學(xué)目標(biāo)的組成要素可以看出：教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化――目的只是一般的意向或意圖，它只表達了“學(xué)什么”，但它沒有表達“怎樣學(xué)”和“學(xué)到什么程度”；目標(biāo)不但表達了“學(xué)什么”，也表達了“怎樣學(xué)”和“學(xué)到什么程度”.
問：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的定義，學(xué)習(xí)結(jié)果是教學(xué)目標(biāo)的基本成分。怎樣確定學(xué)習(xí)結(jié)果？
答：先析出教材涉及的課程內(nèi)容；再論證并解析獲得課程內(nèi)容的認(rèn)知過程及認(rèn)知條件；然后按學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論確定涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果。其具體操作方法如下：
（1）析出教材涉及的課程內(nèi)容。析出教材涉及的課程內(nèi)容就是根據(jù)課程內(nèi)容的含義從章節(jié)核心概念的概念體系中抽出本節(jié)課涉及的課程內(nèi)容。例如，“認(rèn)識三角形（第1課時）”涉及的課程內(nèi)容有：三角形的產(chǎn)生方法及三角形與線段和三角形與生活中三角形的關(guān)系；三角形的概念（包括定義、組成要素和表示三角形的符號）及定義三角形的步驟和蘊涵的歸納思想與發(fā)現(xiàn)幾何圖形特征的經(jīng)驗；三角形的“角角關(guān)系”及三角形的分類表示、三角形的“邊邊關(guān)系”及三條線段構(gòu)成三角形的條件，及研究三角形性質(zhì)的過程和蘊涵的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、符號表示思想等與從運算角度發(fā)現(xiàn)與提出問題和從逆命題角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的經(jīng)驗；用三角形的有關(guān)知識解決有代表性的問題及解題的過程和蘊涵的演繹思想等與判斷三條線段構(gòu)成三角形的經(jīng)驗等。內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系可用圖1表示.圖1“認(rèn)識三角形（第1課時）”主要內(nèi)容及其邏輯關(guān)系（2）論證并解析認(rèn)知過程及認(rèn)知條件。論證認(rèn)知過程及認(rèn)知條件就是運用學(xué)習(xí)任務(wù)分析理論，分析獲得主要課程內(nèi)容（特別是概念、性質(zhì)）的認(rèn)知過程及認(rèn)知所需要的必要條件和支持性條件。認(rèn)知過程是指獲得有關(guān)課程內(nèi)容的步驟。必要條件是學(xué)習(xí)中不可缺少的條件――學(xué)習(xí)新知識必須具備的先決條件；支持性條件是對學(xué)習(xí)起“催化劑”作用的條件――數(shù)學(xué)認(rèn)知策略、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、態(tài)度等。解析認(rèn)知過程及認(rèn)知條件就是說明認(rèn)知過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法的價值。例如，獲得三角形概念的認(rèn)知過程和認(rèn)知所需要條件的分析結(jié)果可用圖2表示.圖2三角形概念學(xué)習(xí)分析結(jié)構(gòu)圖從圖2可以看出：獲得三角形概念的基本步驟是：①用適當(dāng)?shù)姆椒óa(chǎn)生特定的三角形或有代表性的三角形；②觀察特定或有代表性三角形的特征；③歸納或演繹三角形的本質(zhì)特征；④用文字語言定義、用符號語言表示、說明組成要素等。獲得三角形概念的支持性條件是：①發(fā)現(xiàn)幾何圖形特征的經(jīng)驗；②歸納思想（或演繹思想）；③定義幾何圖形的經(jīng)驗。獲得三角形概念的必要條件是：三條線段拼接三角形的經(jīng)驗，或生活中三角形到數(shù)學(xué)中三角形的抽象經(jīng)驗。由于產(chǎn)生三角形有兩種可行的方法，所以選擇哪種方法需要價值分析：這第①種方法符合認(rèn)知同化理論和幾何發(fā)展規(guī)律，并且暗示了數(shù)學(xué)中三角形與生活中三角形的關(guān)系，但教師演示學(xué)生觀察的方法學(xué)生思維含量不高，也容易導(dǎo)致學(xué)生“生活中三角形”與“數(shù)學(xué)中三角形”相混淆。這第②種方法符合認(rèn)知同化理論和幾何發(fā)展規(guī)律，并且暗示了三角形的本質(zhì)特征，也是畫三角形的基本方法。由此可見，采用線段拼接的方式產(chǎn)生三角形更能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)。由于定義三角形的步驟和蘊涵的數(shù)學(xué)思想及發(fā)現(xiàn)三角形特征的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對學(xué)習(xí)其它幾何圖形有指導(dǎo)作用，觀察并歸納三角形的共同特征有能力發(fā)展點、個性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點，所以定義三角形的步驟和蘊涵的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗應(yīng)列入課程內(nèi)容，并成為教學(xué)目標(biāo)的有機組成部分.
（3）按學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論確定涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果。一般地，全部學(xué)習(xí)結(jié)果包括知識、技能、情感態(tài)度與價值觀三個方面?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）把學(xué)習(xí)結(jié)果分為“結(jié)果性”學(xué)習(xí)成果和“過程性”學(xué)習(xí)成果兩類?！敖Y(jié)果性”學(xué)習(xí)成果包括四種類型的知識（事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認(rèn)知知識）和四個層級的智慧技能（知識技能、理解概念、運用規(guī)則、解決問題）。“過程性”學(xué)習(xí)成果包括數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度――在數(shù)學(xué)結(jié)果形成與應(yīng)用過程中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)思維等；從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題等；在反思學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)結(jié)果中，體會認(rèn)知過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想，體驗解決問題方法的多樣性，體會數(shù)學(xué)的特點和了解數(shù)學(xué)的價值等；在數(shù)學(xué)活動的過程中，積極參與數(shù)學(xué)活動，有“認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑”的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣等。例如，“認(rèn)識三角形（第1課時）”的“結(jié)果性”學(xué)習(xí)成果有：事實性知識――三角形的名稱、組成要素，表示三角形的符號；概念性知識――三角形的概念，三角形三個內(nèi)角之和等于180°和三角形任意兩邊之和大于第三邊等的性質(zhì)，三條線段能組成三角形的條件；程序性知識――產(chǎn)生三角形的方法，定義三角形的步驟，研究三角形性質(zhì)的方法，用有關(guān)知識解題的方法等；元認(rèn)知知識――研究三角形的策略和蘊涵的數(shù)學(xué)思想及發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系和判斷給定三條線段能否構(gòu)成三角形的經(jīng)驗等。知識技能――用符號和字母表示三角形，在具體情境中識別三角形，用三角形的角角關(guān)系進行計算等；理解概念――三角形的分類表示，三角形與線段和三角形與生活中三角形的關(guān)系，用三條線段構(gòu)成三角形的條件判斷給定三條線段能否構(gòu)成三角形；運用規(guī)則――用定義幾何圖形的經(jīng)驗定義三角形，用三角形的邊邊關(guān)系進行大小比較；解決問題――觀察基礎(chǔ)上歸納三角形的特征，用合情推理發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)和用演繹推理說明三角形的性質(zhì)，從運算的角度發(fā)現(xiàn)并提出三角形兩邊之差小于第三邊，從逆命題的角度發(fā)現(xiàn)并提出三條線段能構(gòu)成三角形的條件，用三角形的有關(guān)性質(zhì)解決簡單的實際問題。其“過程性”學(xué)習(xí)成果可能有：發(fā)現(xiàn)三角形特征和生成三角形性質(zhì)中的個性化想法；反思三角形概念和性質(zhì)形成過程中的個性化體驗（特別是定義的步驟和研究的方法及蘊涵的數(shù)學(xué)思想）；參與定義三角形活動和探索三角形性質(zhì)中的個性化表現(xiàn)（積極參與討論并敢于發(fā)表觀點等）和對學(xué)習(xí)三角形意義的感觸等.
問：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的定義，學(xué)習(xí)結(jié)果暗含認(rèn)知要求。怎樣確定認(rèn)知要求？
答：先解析課程內(nèi)容的地位與作用；再查閱《課標(biāo)（2011年版）》中學(xué)段目標(biāo)和教學(xué)參考書設(shè)置的章節(jié)目標(biāo)；然后結(jié)合學(xué)生現(xiàn)實確定學(xué)習(xí)結(jié)果的認(rèn)知要求。其具體操作方法如下：
（1）解析課程內(nèi)容的地位與作用。解析課程內(nèi)容的地位就是說明研究對象在數(shù)學(xué)體系中的位置、研究內(nèi)容在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部問題中的作用、研究方法對進一步認(rèn)識數(shù)學(xué)的影響。解析課程內(nèi)容的作用就是說明教學(xué)對學(xué)生理解數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題和解決問題的方法的作用、蘊含在知識背后的思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等對發(fā)展學(xué)生智力的作用、數(shù)學(xué)活動過程對發(fā)展學(xué)生能力和個性的作用。例如，“認(rèn)識三角形（第1課時）”，其地位是：三角形是基本圖形，是平面幾何的重要研究對象；日常生活中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，利用三角形的性質(zhì)能解決許多數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部中的問題；研究三角形的“基本套路”、定義三角形的步驟和研究三角形性質(zhì)的方法對研究其他幾何圖形有示范作用。其的作用有：通過教學(xué)能使學(xué)生理解數(shù)學(xué)地認(rèn)識幾何問題的思維模式和解決問題的方法；其蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對發(fā)展學(xué)生的智力有積極的影響；其蘊涵的理性思維過程對發(fā)展學(xué)生的能力和個性也有積極的影響.
（2）查閱《課標(biāo)（2011年版）》中學(xué)段目標(biāo)和教學(xué)參考書設(shè)置的章節(jié)目標(biāo)?！墩n標(biāo)（2011年版）》體現(xiàn)了國家對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的基本規(guī)范和質(zhì)量要求，是國家管理和評價義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也是教材編寫、教學(xué)、評估和考試命題的依據(jù)。因此，所有教學(xué)活動都應(yīng)該而且必須基于《課標(biāo)（2011年版）》展開。教學(xué)參考書設(shè)置的章節(jié)目標(biāo)是《課標(biāo)（2011年版）》學(xué)段目標(biāo)的下位目標(biāo)，是編者根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》學(xué)段目標(biāo)按“知識與技能+認(rèn)知過程”兩個維度進行細(xì)化的結(jié)果，在設(shè)置教學(xué)目標(biāo)時有一定的參考價值。例如，“認(rèn)識三角形”在《課標(biāo)（2011年版）》中的學(xué)段目標(biāo)是：理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。探索并證明三角形的內(nèi)角和定理；掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。“認(rèn)識三角形”在教學(xué)參考書設(shè)置的章節(jié)目標(biāo)是：體驗并理解三角形概念；經(jīng)歷并掌握三角形的表示方法；體驗并理解三角形兩邊之和大于第三邊；探索并掌握三角形三個內(nèi)角的和等于180°及其推論；探索并運用三角形的邊和角的性質(zhì)解簡單的幾何問題；經(jīng)歷并了解三角形的分類.
（3）結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實確定學(xué)習(xí)結(jié)果的認(rèn)知要求。學(xué)生的現(xiàn)實是指學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗狀況，它是貫徹“個性化”和“針對性”思想的前提。如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，則其教學(xué)要求可以比《課標(biāo)（2011年版）》的要求適當(dāng)提高；如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，則其教學(xué)要求不能隨意提高。例如，“認(rèn)識三角形（第1課時）”，盡管其學(xué)習(xí)結(jié)果有較高的價值并且學(xué)生在小學(xué)階段對三角形已有一些感性認(rèn)識，但《課標(biāo)（2011年版）》對“認(rèn)識三角形”的教學(xué)要求已經(jīng)比較高了，對大部分學(xué)生來說只要達到《課標(biāo)（2011年版）》的要求即可。然而，盡管《課標(biāo)（2011年版）》給出了刻畫學(xué)習(xí)結(jié)果的性能動詞，但這些性能動詞仍然比較概括、抽象，不能滿足準(zhǔn)確刻畫學(xué)習(xí)結(jié)果的需要。例如，“了解”、“理解”屬于內(nèi)隱的心理活動動詞，應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的外顯動詞以滿足準(zhǔn)確刻畫學(xué)習(xí)結(jié)果的需要。一般地，了解對應(yīng)的性能動詞有：能（陳述、再認(rèn)、區(qū)分、識別、告訴、界定等）――了解所要解決的是“知”與“不知”的問題，即只要求“知其然”，知道“是什么”；理解對應(yīng)的性能動詞有：能（說明、闡明、舉例、描述、解釋、判斷、轉(zhuǎn)換、表示、分類、辯護、領(lǐng)會等）――理解所要解決的是“懂”的問題，即要求“知其所以然”，知道“為什么”；掌握對應(yīng)的性能動詞有：會（表示、計算、推理、畫圖、操作、測量、執(zhí)行、演示等）――掌握所要解決的是“會”與“不會”的問題（具有一定的方法和步驟）；運用對應(yīng)的性能動詞有：會（解釋、判斷、運算、推理、論證、生成等）――運用所要解決的是“熟”與“不熟”和“活”與“不活”的問題（需要綜合運用有關(guān)知識，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題）。例如，“理解三角形的概念”可以具體分解為：能結(jié)合圖形說出三角形的組成要素與相關(guān)要素，能陳述三角形的特征和三角形與線段和三角形與生活中三角形的關(guān)系，會用文字、符號和字母表示三角形，會用三角形的定義進行判斷與推理，能說出定義三角形的步驟和體會蘊涵的歸納思想等.
問：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的定義，學(xué)習(xí)活動是教學(xué)目標(biāo)的組成要素。怎樣選擇活動方式？
答：一般地，學(xué)習(xí)有這樣一些基本的行為方式：①視，即看、觀察；②聽，即傾聽；③讀，包括有外部語言的讀和沒有外部語言的讀；④做，即動手操作，包括列表、排序、畫圖、測量、計算、解答、化簡、證明等；⑤思，即思考、思辨、分析、比較、抽象、概括、綜合、演繹、歸納、類比、判斷、推斷等；⑥議，包括說、論、評，即描述、論述、討論、交流等，總之是口頭的表達。《課標(biāo)（2011年版）》根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點將數(shù)學(xué)活動概括成有層次的三種形式：①“經(jīng)歷……過程”。其活動的內(nèi)容是借助已有的知識與經(jīng)驗從數(shù)學(xué)角度認(rèn)識與研究對象有關(guān)的“生活題材”或“數(shù)學(xué)題材”；其活動的形式主要是有指導(dǎo)地“視”、“聽”、“讀”、“做”等；其活動的目的是：從“生活題材”或“數(shù)學(xué)題材”中抽象出研究對象，并獲得對象的一些感性認(rèn)識。②“參與……活動”。其活動的內(nèi)容是借助認(rèn)知同化理論認(rèn)識或驗證對象的特征；其活動的形式主要是主動地“視”、“做”、“思”等；其活動的目的是：初步認(rèn)識對象的特征及認(rèn)識對象特征的一些經(jīng)驗。③“探索……關(guān)系”。其活動的內(nèi)容是運用數(shù)學(xué)推理方法研究對象的特征、性質(zhì)，或數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)結(jié)論等；其活動的形式主要是獨立或與他人合作進行“視”、“做”、“思”、“議”等；其活動的目的是：理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識。這三種數(shù)學(xué)活動方式分別用行為動詞“經(jīng)歷”、“參與”、“探索”來界定。選擇活動方式就是依據(jù)“知識與技能”的地位與作用和獲得“知識與技能”的認(rèn)知過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法等的價值，按《課標(biāo)（2011年版）》的觀點選擇合適的數(shù)學(xué)活動方式以落實全面、和諧發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)。例如，由于定義三角形的步驟和蘊涵的數(shù)學(xué)思想對認(rèn)識其它幾何圖形有指導(dǎo)作用，觀察并歸納三角形的特征有能力發(fā)展點、個性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點，所以“三角形概念”的教學(xué)應(yīng)選擇學(xué)生參與定義三角形活動的數(shù)學(xué)活動方式.
問：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的定義，規(guī)范的教學(xué)目標(biāo)需要對學(xué)習(xí)結(jié)果附加特定的限制和說明表現(xiàn)的程度。怎樣附加特定的限制和說明表現(xiàn)的程度？
答：對學(xué)習(xí)結(jié)果附加特定的限制和說明表現(xiàn)的程度是滿足教學(xué)評價的需要。表述評價學(xué)習(xí)結(jié)果所需要的特定限制有四種類型：一是關(guān)于使用輔助手段，如“可以帶計算器”或“允許上網(wǎng)查閱”；二是提供信息或提示，如“類比發(fā)現(xiàn)三角形性質(zhì)的經(jīng)驗，能給出平行四邊形的兩條性質(zhì)”等；三是時間的限制，如“在5分鐘內(nèi)，能……”等；四是完成行為的情境，如“在課堂討論時，能敘述……的要點”。目標(biāo)的表現(xiàn)程度是指學(xué)生學(xué)習(xí)之后預(yù)期達到的最低表現(xiàn)水準(zhǔn)，它只是說明目標(biāo)所指向的這一群學(xué)生最起碼達到的標(biāo)準(zhǔn)，而不代表所有學(xué)生真正獲得的真實的教育結(jié)果?？坍嬓袨楸憩F(xiàn)程度可用多種方式來表達所有學(xué)生的共同程度。如練習(xí)中做對題目的數(shù)量（如演示10道計算題至少對8題）；連續(xù)正確題目的數(shù)量或者連續(xù)的無誤行為；以一定精確水平的完成（如正確地、精確地、準(zhǔn)確地、正確率達80%以上等）；以一定熟練水平的完成（如熟練地、自然地等）；…….
問：表述教學(xué)目標(biāo)有哪些原則？怎樣按規(guī)范表述教學(xué)目標(biāo)？
答：表述教學(xué)目標(biāo)有這樣一些原則：①目標(biāo)應(yīng)陳述預(yù)期學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，即目標(biāo)的主體是學(xué)生而不是教師。②目標(biāo)陳述應(yīng)有助于“導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)教、導(dǎo)測評”?！皩?dǎo)學(xué)”就是目標(biāo)能明確告訴學(xué)生，通過學(xué)習(xí)，他應(yīng)該學(xué)會做什么；“導(dǎo)教”就是目標(biāo)應(yīng)暗含要教會學(xué)生哪些知識與技能及認(rèn)知策略等；“導(dǎo)測評”就是目標(biāo)應(yīng)暗含觀察學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的條件。③目標(biāo)中應(yīng)暗含適當(dāng)?shù)姆诸惪蚣?。例如，“認(rèn)識三角形（第1課時）”，按這樣的表述原則及教學(xué)目標(biāo)的定義，其教學(xué)目標(biāo)可以表述為：①經(jīng)歷產(chǎn)生與感悟三角形的過程，能說出兩種產(chǎn)生三角形的方法，能感受三角形具有豐富的現(xiàn)實情景。②參與定義三角形的活動，能陳述三角形的本質(zhì)特征和定義三角形的步驟，能結(jié)合圖形指出三角形的邊、內(nèi)角等，會用符號和字母表示三角形。③探索三角形的性質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)并提出“角角關(guān)系”和“邊邊關(guān)系”并能說明結(jié)論成立的理由，能發(fā)現(xiàn)并提出三條線段能構(gòu)成三角形的條件，會對三角形進行合理分類，能感受蘊涵的數(shù)學(xué)思想和從運算角度思考、從逆命題角度思考分別是發(fā)現(xiàn)并提出幾何命題的方法；④參與嘗試有關(guān)知識應(yīng)用的活動，能在具體情境中識別三角形，能用三角形的有關(guān)性質(zhì)進行簡單的計算、比較大小等，能用三條線段構(gòu)成三角形的條件判斷給定三條線段能否構(gòu)成三角形.
這個教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)了教學(xué)的結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)活動的類型、具體的任務(wù)和要求等，并且暗含著以教學(xué)順序作為教學(xué)目標(biāo)的分類標(biāo)準(zhǔn)，能起“導(dǎo)教”、“導(dǎo)學(xué)”和“導(dǎo)測評”的作用.
以上幾個問題雖不十分系統(tǒng)，回答可能也不全面。但對幫助教師理解教學(xué)目標(biāo)和掌握設(shè)置教學(xué)目標(biāo)的方法有積極作用，對消除當(dāng)前教學(xué)決策隨意性和盲目性的現(xiàn)象也有積極影響.
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]。北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.
與三角形有關(guān)的線段范文第4篇
教學(xué)片段分析：
問題（1）方法引領(lǐng)
如圖1所示，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，連接AP、BP、CP，∠APB=150°，求證：PC2=AP2+PB2。
小明思考后發(fā)現(xiàn)，可以將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到 ACP′，連接PP′，可以利用“旋轉(zhuǎn)”和全等的知識得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決。
【自學(xué)指導(dǎo)】
小組合作學(xué)習(xí)討論下面的思考問題，完成證明過程。
1.小明為什么會想到“旋轉(zhuǎn)”三角形？根據(jù)哪些已知條件可以用旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)角是多少？
因為有公共端點的相等線段AB=AC，旋轉(zhuǎn)后AB會與AC重合。旋轉(zhuǎn)角為60°。
2.為什么要旋轉(zhuǎn)？（旋轉(zhuǎn)的作用是什么）
因為旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，所以通過旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)移相等的線段、相等的角，可以將分散的線段轉(zhuǎn)移在同一個三角形中。
3.為什么旋轉(zhuǎn)60°？旋轉(zhuǎn)60°后得到什么三角形？
因為旋轉(zhuǎn)60°后，AB和AC重合，同時∠PAP′=60°，會出現(xiàn)等邊三角形，從而轉(zhuǎn)移相等線段。
【解題思路點撥】
由結(jié)論入手
【方法點撥】
1.構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的前提條件是什么？
有共端點的等線段。
2.遇到有60°的等線段，如何旋轉(zhuǎn)？
若遇60°，可旋60°，構(gòu)造新等邊三角形。
3.旋轉(zhuǎn)的作用是什么？
轉(zhuǎn)移線段、轉(zhuǎn)移角?？梢詫⒎稚⒌木€段轉(zhuǎn)移在同一個三角形中。
4.通過旋轉(zhuǎn)圖形，可以解決什么問題？
解決有關(guān)“線段之間數(shù)量關(guān)系”的問題。
問題（2）實踐探索
如圖2所示，A、B、C、D、分別是圓O上的點，AB是圓O的直徑，點C是弧AB中點，求證：（AD+BD）2=2CD2
【自學(xué)指導(dǎo)】
小組合作學(xué)習(xí)討論下面的思考問題：
1.看到結(jié)論（AD+BD）2=2CD2，你想到了什么知識？
勾股定理中直角三角形三邊關(guān)系。
2.你認(rèn)為利用什么方法可以將AD、BD、CD轉(zhuǎn)移到同一個三角形當(dāng)中？
利用旋轉(zhuǎn)三角形，轉(zhuǎn)移線段轉(zhuǎn)移角，將分散的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形當(dāng)中。
3.請畫出圖形，分析解題思路。
【師友展示要求】
學(xué)友：講解解題思路。學(xué)師：解答思考問題。
思考：此題BD、CD、AD還有怎樣的等量關(guān)系？為什么？
【方法點撥】
遇到有90°的等線段，如何旋轉(zhuǎn)？
若遇90°，可旋90°，構(gòu)造新直角等腰三角形。
問題（3）拓展提升
已知：如圖3所示，A、B、C、D分別是圓O上的點，AD是∠CDB 的平分線，且∠CAB=α（α為鈍角），請問BD、DC與AD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明。
自學(xué)指導(dǎo)：參考前兩問的學(xué)習(xí)，思考解題思路并畫出圖形。小組合作討論解題方法。
【方法點撥】
遇到一般的等腰三角形，如何旋轉(zhuǎn)？
與三角形有關(guān)的線段范文第5篇
【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A
【文章編號】0450-9889（2013）07A-0056-03
我們知道，一堂數(shù)學(xué)課的成功與失敗的關(guān)鍵在于這節(jié)課教學(xué)重難點的操作環(huán)節(jié)是否落到實處。換言之，也就是教師在精心選擇材料與用心構(gòu)思過程中，是否能尋找到適合孩子認(rèn)知原基礎(chǔ)與新動力的平衡點，讓這樣一個個點串成線，線連成面，面構(gòu)成體，逐步推動重點、難點的落實與突破。因此，本文想以“三角形的認(rèn)識”一課教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)課堂教學(xué)展開環(huán)節(jié)操作的幾個要素。
一、以“退”為“進”重聯(lián)系
據(jù)美國心理學(xué)會關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)心理因素和學(xué)習(xí)原理的分析：成功的學(xué)習(xí)者能以有意義的方式把新知識與已有的知識聯(lián)系起來。那么，學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)方式需要的就是教師的逐步引導(dǎo)與示范，教師首先要用“聯(lián)系”的觀點來思考與教學(xué)，才會引導(dǎo)孩子去做學(xué)習(xí)的成功者。
比如《三角形的認(rèn)識》一課教學(xué)中，學(xué)習(xí)的難點就是“高”的意義理解和不同三角形的“高”的畫法，拓展點是“等底等高的三角形面積相等”的關(guān)系理解。傳統(tǒng)教學(xué)中高的畫法，一般以分步驟、塊狀式來夯實高的作法（即一定程度上的學(xué)法指導(dǎo)），這是傳統(tǒng)課堂中較成功的一面，也是值得一線教師繼承的。但是這些成功的教學(xué)范例中，設(shè)計者對三角形高畫法的知識原點在哪里，銳角、直角、鈍角三角形高的作法的橫向溝通以及動態(tài)變化過程讓學(xué)生去經(jīng)歷、體驗與感悟它們之間的必然聯(lián)系，是存在一些缺憾的。因此，應(yīng)該考慮新舊知識之間的“退”與“進”的關(guān)系，在新舊知識的“退”與“進”中建立一種聯(lián)系，以此啟發(fā)思維，促進有效學(xué)習(xí)。大致可以這樣來操作：
片段一：
1舊知回顧
師：請按要求進行練習(xí)。
要求：（1）過A、B兩點畫一條直線。
（2）從直線AB外一點C，畫出C到直線AB的距離。
師：請同學(xué)們說一說，從直線AB外一點C到直線AB的距離，是怎么畫的？
生：從C點向直線AB畫垂直的線段，就是C點到直線AB的距離。
師：要求同桌說一說。（板書：垂直線段）
（3）過直線外一點C畫直線AB的平行線。
師：如果C點可以在直線AB的平行線上左右移動的話，請你按下列要求完成練習(xí)。
（4）在直線AB的平行線上任取兩點C1，C2，畫出他們到直線AB的距離。
師：請問直線AB的平行線上任取一點，它到直線AB的距離如何，為什么？
生：長度相同，因為平行線間距離處處相等。
2引入課題
師：如果用直線連接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB間的部分叫什么？（教師邊連接邊提問。）
生：線段AC、BC、AB。
師：這時候就形成一個什么圖形？
生：三角形。
師：今天我們就來研究三角形。（板書：三角形的認(rèn)識）
……
片段二：
反思三角形高的形成。
師：（指著黑板中三角形ABC內(nèi)的一條線段，即點C向直線AB畫的距離）該線段是怎么畫出來的？
生：這條線段是點C到直線AB的距離。
師：點C到直線AB的距離是怎么畫的呢？
生：從點C到直線AB畫垂直線段。
（師：板書：垂直線段，并要求學(xué)生同桌互說。）
師：從點C到直線AB畫垂直線段，線段AB是直線中的一部分，也可以說點C到線段AB畫垂直的線段，因為線段AB又是三角形ABC中的一條邊，所以也可以說C點到AB邊畫的垂直線段。請同學(xué)們說一說：C點到AB邊畫垂直的線段有哪些？
（同桌交流。）
師：C點到三角形ABC的AB邊畫垂直的線段，這條垂直的線段就叫做AB邊上的高，邊AB可以說是三角形的底，并請同桌說一說。
（同桌交流。）
……
以上教學(xué)先畫出點到直線的距離（先入為主）――畫平行線之間的距離（一箭雙雕）――三角形的形成――反思“高”的形成――理解意義（水到渠成）。在整個學(xué)習(xí)的過程中，將與三角形有關(guān)的前后聯(lián)系的知識點有效地串了起來。由此也播下了一顆智慧的種子：當(dāng)碰到新知識的時候，我們可以從尋找與此有聯(lián)系的舊知識入手來展開學(xué)習(xí)。這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法是靠老師的傳授無法實現(xiàn)的，它是一種潛移默化式的有意滲透。
二、“慢”中追“遠(yuǎn)”求發(fā)展
荷蘭的范希爾理論指出，學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須掌握前一個水平的各個概念和策略。用此理論來解釋本課的教學(xué)，也就是在回顧舊知建立聯(lián)系時可以快，在探索新知理解新授內(nèi)容時就一定要慢；在學(xué)生容易學(xué)會的地方要快，在學(xué)生難以理解的地方要慢。這樣不但能幫助學(xué)生更好地理解新知識，更能為以后的學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)過程中，放慢腳步來引導(dǎo)學(xué)生體驗非常關(guān)鍵。
片段三：三角形概念的形成
師：請同學(xué)們利用自己以前對三角形的認(rèn)識和剛才看到老師畫三角形的過程，說說下列圖形哪些是三角形，哪些不是三角形，為什么？
1媒體出示圖形1：
生（大多數(shù)）：不是三角形。因為三角形三條邊必須是直的線段，而這個圖形中有一條邊是彎曲的，所以它不是三角形。
師：你們意思是說三角形是由三條線段圍成的圖形。（板書：三條線段圍成的圖形）
2媒體出示圖2：
生（大多數(shù)）：該圖形不是三角形，因為三條線段頭尾沒有相連接一起。
（師拖動鼠標(biāo)在媒體上指出同學(xué)說的意思，并完整說出三角形的概念：三條線段頭尾相連圍成的圖形叫三角形。補充板書：頭圍相連）
師：同桌說一說三角形的概念。
3媒體出示圖3
生：是三角形。
師：請大家說一說，讀一讀三角形概念。
4媒體出示圖4
生：不是三角形。
師：你們能想辦法把它變成三角形嗎？
生：縮短或延長其中一條線段，讓三條線段頭尾相連就形成三角形了。
……
片段四：三角形高的畫法
1高的規(guī)范畫法
師：高的線段有特別要求，需用虛線來表示，請同學(xué)們用橡皮擦去剛才AB 邊上的高，然后用虛線畫出來。
（生規(guī)范畫高。）
2教師引導(dǎo)學(xué)生畫邊AC、BC上的高
師：請你們猜一猜，三角形ABC有三條邊，其中AB邊上有高，那么另外兩條邊AC、BC有沒有高呢？
生：有?。w）
師：完全正確。那么AC、BC邊上的高怎么畫呢？你們可以自己試著畫一畫。
（生試著畫邊AB、AC上的高。師巡回指導(dǎo)收集信息。）
師：從剛才的操作中，可以看出大部分同學(xué)已經(jīng)掌握了三角形高的畫法，但還有少部分同學(xué)沒掌握，下面請幾位同學(xué)來交流交流。
生1：我根據(jù)AB邊上的高的畫法，推測到BC邊上的高應(yīng)該是從A點向邊BC畫垂直的線段。
生2：我的想法也和這位同學(xué)一樣，AC邊上的高應(yīng)該是從B點向邊AC畫垂直的線段。
（師板書：B―AC，A―BC，要求學(xué)生說一說AC、BC邊上高的畫法，并示范畫高。）
（生反思糾正。）
3合作練習(xí)
師（出示三角形）：請同桌指定一條邊作為三角形的底，讓另一人畫出對應(yīng)的高。如果同桌有困難，請及時幫助。兩人輪換進行。
在三角形概念形成的教學(xué)中，教師出示了與之相反的三種錯例來突出“頭尾相連”的重要性；在理解高的意義和畫高的教學(xué)中，教師不斷地引導(dǎo)學(xué)生進行“操作――交流――再操作――再交流”，讓學(xué)生的思維一直處于興奮狀態(tài)，通過探索與合作讓學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性發(fā)揮到極致。在接下來的教學(xué)中（片段五、片段六），體驗銳角、直角與鈍角三角形的高時，教師又慢了下來，通過“動態(tài)演示――問題驅(qū)動――靜態(tài)想象――觀察感悟”來夯實基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、發(fā)展空間觀念。
三、“穩(wěn)”中求“變”促提升
心理學(xué)家提出了記憶的精加工策略，他們認(rèn)為，通過變式，兒童掌握了這一規(guī)則，改進了記憶，則兒童掌握了精加工策略。數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練，主要是指對例題、習(xí)題進行變通推廣，使學(xué)生在不同角度、不同層次、不同背景下重新認(rèn)識原數(shù)學(xué)問題，把學(xué)生的知識、能力、思想引入縱深，從而提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。
片段五：體驗銳角、直角、鈍角三角形高的變化及聯(lián)系情況（借助媒體）
1.媒體出示圖形
師：（借助媒體講解）三角形ABC的AB邊上的高，是C點向邊AB作垂直的線段，與AB相交的點稱為垂足點，角A是什么角？（銳角），顯然的，這時三角形ABC的邊AB上的高是在三角形里面還是外面？（里面）
師：如果三角形ABC的頂點C可以在直線AB的平行線上左右移動的話，當(dāng)C點往右移動到另一個位置時，就可以形成一個新的三角形（媒體出示），并請同學(xué)在腦子中畫出AB邊上的高。
師：請同學(xué)們說一說，這時高的垂足點相對于原三角形底邊AB高的垂足點，是離B點近了還是遠(yuǎn)了？角B的變化情況呢？
（生觀察感悟，并說說。）
2.體驗直角三角形直角邊上的高
師：（媒體繼續(xù)演示）如果C點繼續(xù)不斷往右移動就會不斷形成新的三角形，那么AB邊上的高的垂足點就會不斷靠近B點，最后將會和B怎么樣呢？
生：重合。三角形ABC就是直角三角形，這時三角形ABC邊AB上的高是另一條直角邊BC。
3.體驗鈍角三角形鈍角邊上的高
師：請同學(xué)們順著剛才的思考，繼續(xù)大膽推理，如果C點繼續(xù)往右移動（媒體演示），這時形成新的三角形是什么三角形呢？
生：鈍角三角形。
師：請大家大膽說說，這時AB邊上的高還會不會在三角形ABC里面呢？（集體表決）
（讓學(xué)生在頭腦中“畫”高。）
（生舉手表決，絕大部分同學(xué)表決是和屏幕上一致的。）
（4）C點向左移動形成銳角、直角和鈍角三角形的對應(yīng)高的變化情況體驗。（略）
片段六：觀察體驗三角形的等底等高規(guī)律
師：C點在直線AB的平行線上左右移動不斷移動到新的位置上，就會不斷形成新的三角形，底邊AB一直沒有變化，那么每個三角形底邊AB上的高的長短會怎么樣呢？
生：長短都相等。
師：為什么？
生：平行線間距離處處相等。
……
