前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇數(shù)學(xué)歸納法范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發(fā)現(xiàn)更多的寫作思路和靈感。

數(shù)學(xué)歸納法范文第1篇

1.知識目標(biāo)

(1)理解并掌握用數(shù)學(xué)歸納法原理及證明的三個步驟。

(2)會用數(shù)學(xué)歸納法證明等式和不等式。

2.能力目標(biāo)

通過對數(shù)學(xué)歸納法的復(fù)習(xí)、應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。

3.情感目標(biāo)

(1)通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的復(fù)習(xí)探究,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難、勇于探索的精神。

(2)讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解,感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的震憾力,從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。

(3)學(xué)生通過質(zhì)疑與探究,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新精神。

教學(xué)重難點(diǎn)

1.重 點(diǎn)

(1)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。

(2)明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的三個步驟。

(3)會用數(shù)學(xué)歸納法證明等式和不等式。

2.難 點(diǎn)

(1)對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解,即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性。

(2)假設(shè)的利用,即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確。

教學(xué)方法:

通過多媒體師生互動討論、探究的方法

教學(xué)過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境,啟動思維

讓學(xué)生復(fù)習(xí)教材,同時探究下面的三道小題,從而達(dá)到溫故而知新的目的。

二、討論交流,深化認(rèn)識

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對n≥n0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 5 。

注意起始值的驗證,因為它是遞推的基礎(chǔ)。

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”時,下列過程中正確的個數(shù)是 ②③ 。

①驗證n=1時成立,由“n=k(k為正奇數(shù))時命題成立”推出“n=k+1時命題成立”;

②驗證n=1時成立,由“n=k(k為正奇數(shù))時命題成立”推出“n=k+2時命題成立”;

③驗證n=1時成立,由“n=2k-1(k為正整數(shù))時命題成立”推出“n=2k+1時命題成立”;

④驗證n=3時成立,由“n=2k+1(k為正整數(shù))時命題成立”推出“n=2k+3時命題成立”;

3.對于不等式1,n∈N*),某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:

(1)當(dāng)n=2時,

(2)假設(shè)n=k(k>2,k∈N*)時,不等式成立,即

=

故當(dāng)n=k+1時,不等式成立.上述證法是否正確,若不正確請指出。

Ⅰ歸納假設(shè)不能脫離遞推的基礎(chǔ)。

Ⅱ一定要運(yùn)用歸納假設(shè)。

Ⅲ注意證明步驟的完整性。

三、典例解析,鞏固提高

例1.已知n∈N*,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

1-+-+…+-=++…+.

證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1-=,右邊,等式成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時等式成立,即有:

1-+-+…+-=++…+.

那么當(dāng)n=k+1時,

左邊=1-+-+…+-+-

=++…++-

=++…+++-

=++…++

=右邊;

所以當(dāng)n=k+1時等式也成立.

綜合(1)(2)知對一切n∈N*,等式都成立.

思維點(diǎn)撥:仔細(xì)觀察欲證等式的結(jié)構(gòu)特征,在第二步證明當(dāng)n=k+1時向目標(biāo)式靠攏是關(guān)鍵.

例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù)n,不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.

證明:(1)當(dāng)n=2時,左=1+=,右=,左>右,

不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時,不等式成立,即

(1+)(1+)…(1+)>

那么當(dāng)n=k+1時,

(1+)(1+)…(1+)=1+>•

=

=>

==

n=k+1時,不等式也成立.

由(1)(2)知,對一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.

例3.求證:對一切大于1的自然數(shù)n,1+

證明:(1)令f(n)=1+++…+,

當(dāng)n=2時,原不等式成立;

(2)設(shè)n=k(k∈N*)時不等式也成立,

即1+≤1+++…+,

則當(dāng)n=k+1時,

f(k+1)=1+++…+≥1++++…+>1++=1++=1+

即n=k+1時,命題成立

綜合(1)(2)可得:原命題n∈N*對原不等式成立。

思維點(diǎn)撥:證明當(dāng)n=k+1時向目標(biāo)式靠攏時注意增加的項數(shù),同時要注意需要逐項放縮。

四、反思感悟(師生共同完成)

注意“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉”;

從n=k到n=k+1時,變形方法有因式分解、添拆項、配方、放縮等方法。

五、課后練習(xí)

1.設(shè)f(n)=1+++…+,是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)g(n),使等式f(1)+ f(2)+…+f(n-1)=g(n)•f(n)-1對于n≥2的一切自然數(shù)都成立?證明你的結(jié)論。

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:

++…+

3.思考:例2能不能利用其他方法去證明。

數(shù)學(xué)歸納法范文第2篇

一、數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)――演義與歸納的辯證統(tǒng)一

如果把特征的命題簡記為，則數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟是：（1）證明：真；（2）證明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）結(jié)論：真。

圖示為：S（k）真?圯S（k+1）真

S（1）真?圯S（n）真

縱觀全過程，這是一個“個別―特殊―一般”的推理形式，完全合乎歸納推理程序。從這一層面來講，它是歸納的。

但是，這個“從S（1）真到S（n）真”并不能靠歸納本身完成，否則就會成為“不完全歸納法”。它將經(jīng)由這樣的程序：假設(shè)S（k）真（S（1）真為這個假設(shè)奠定了基礎(chǔ)），然后經(jīng)過合乎邏輯規(guī)則的推理，最后得出S（k+1）真，這正是一個確定的結(jié)論的演繹的證明。從這一層面來講，它又是演繹的。

所以，把這種證題方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，較能體現(xiàn)歸納中有演繹、演繹中有歸納、歸納與演繹辯證統(tǒng)一的關(guān)系。而其中起關(guān)鍵作用的是演繹――正是靠了演繹，結(jié)論的正確性得到以從自然走向必然。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是歸納―演繹的，而演繹是其靈魂。數(shù)學(xué)歸納法是由遞推基礎(chǔ)“S（1）真”和遞推根據(jù)“S（k）真?圯S（k+1）真”協(xié)同作用實(shí)現(xiàn)其證明的美妙而獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題

1.注重不完全歸納法的地位。

數(shù)學(xué)歸納法有著不同的側(cè)面。作為純粹證題方法的“數(shù)學(xué)歸納法”與作為教學(xué)對象的“數(shù)學(xué)歸納法”，二者并非一回事。一般教法比較失策的一點(diǎn)是：為了引入數(shù)學(xué)歸納法，不惜犧牲不完全歸納法，只強(qiáng)調(diào)不完全歸納法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新發(fā)現(xiàn)”中起作用的一面。在教學(xué)中我們從不完全歸納法開始，利用“問題―發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)，其程序大致是：

（1）問題：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?

（2）列表：1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

如果必要尚可多列出一些（或配合以圖形）。

（4）證明：用數(shù)學(xué)歸納法，示范講解，提出數(shù)學(xué)歸納法及其解題步驟。

（5）講練：初步入門就迅速轉(zhuǎn)入練習(xí)（包括講解例題），使學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過講練達(dá)到能懂、會用，明白道理。

2.遞推關(guān)系是數(shù)學(xué)歸納法的靈魂。

在數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)與解題過程中，中心而困難的一個環(huán)節(jié)是：“證明：S（k）真?圯S（k+1）真?！?/p>

問題表現(xiàn)在：

（1）不懂得對于每個具體的題目，如何將S（k）、S（k+1）真具體化。這在學(xué)習(xí)初期表現(xiàn)突出。對此，要耐心地進(jìn)行“解疑”和“啟蒙教育”。

（2）不懂得經(jīng)由怎樣的中間步驟實(shí)現(xiàn)“S（k）真?圯S（k+1）真”。解決這個問題沒有一成不變的辦法，原則是創(chuàng)造條件，利用歸納假設(shè)，針對具體題目（即一湊假設(shè)，二湊目的）。有時需要充分利用幾何直觀和試算猜想，其思維特點(diǎn)是直覺的或者歸納的；有時則需要從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行逆推。而分析法用于數(shù)學(xué)歸納法證題，亦有講究。3.防止思維混亂，避免“假證明”。

數(shù)學(xué)歸納法證題訓(xùn)練中，學(xué)生往往不知不覺地認(rèn)為：（1）假設(shè)S（k）真，不也是假設(shè)了S（k+1）真嗎？S（k）與S（k+1）只是S（n）中n取k與k+1，它們沒有區(qū)別，所以關(guān)于“S（k）真?圯S（k+1）真”的證明是走形式。（2）假設(shè)S（k）真不就是假設(shè)S（n）真嗎？k與n都代表自然數(shù)，只是符號有別，命題S（k）就是命題S（n），假設(shè)它真還證什么？如上述種種錯誤理解，極易引起學(xué)生的思維混亂，甚至導(dǎo)致數(shù)學(xué)歸納法“可靠性”的懷疑。而另有一些同學(xué)則喜不自勝，以為數(shù)學(xué)歸納法全是走過場，作業(yè)中便會自覺或不自覺地出現(xiàn)一些“假證明”。為此，在教學(xué)開始時應(yīng)講清楚數(shù)學(xué)歸納法的原理，在證題訓(xùn)練中讓學(xué)生完全理解并規(guī)范約束學(xué)生的證題思路，使他們由不自覺到自覺，真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)歸納法，會用數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法范文第3篇

讓我們來做一個游戲，這個游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個游戲有兩個條件：第一，要推倒第一塊磚；第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放。顯然，這兩個條件缺一不可。如果缺少第一個條件，就會有磚沒有被推倒(至少第一塊磚沒有推倒)。如果缺少第二個條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發(fā)我們得出一個處理與自然數(shù)有關(guān)問題的方法：(1)

處理第一個問題(相當(dāng)于推倒第一塊磚)；(2)驗證前一號問題與后一號問題有傳遞關(guān)系(相關(guān)于前磚碰倒后磚)，這時主角亮相了。數(shù)學(xué)歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數(shù)學(xué)歸納法之后，師生共同參與，按以下設(shè)問進(jìn)行教學(xué)：

1．第一步驟是遞推的基礎(chǔ)，第二步驟是遞推的依據(jù)。若二者缺一將會出現(xiàn)什么問題呢?能舉出實(shí)例來嗎?

2．完成第一步驟后，在第二步驟中，假設(shè)n=k時的結(jié)論正確，這樣的k值是否存在呢?證明N=K+1時結(jié)論也正確，是否起著“傳遞性”的作用?

3．第二步驟中，如果不使用N=K時結(jié)論正確這個條件，直接證明N=K+1時結(jié)論正確，是否還是數(shù)學(xué)歸納法呢?或者說比數(shù)學(xué)歸納法更好呢?

4．第一步驟中，證明N取第一個值結(jié)論正確，這第一個值從哪里取起呢?

5．第二步驟中，在使用N=K時結(jié)論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時結(jié)論正確這一關(guān)呢?(如：演繹法、分析法、反證法等)。

6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是針對n∈N而言的．那么N取非自然數(shù)時，是否也可以呢?

針對學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問題：錯誤理解、認(rèn)識膚淺、似是而非、掌握不牢等現(xiàn)象，教師要精心創(chuàng)設(shè)情景，優(yōu)化教學(xué)手段，以達(dá)到對概念的理解、認(rèn)識到位，對概念的掌握準(zhǔn)確、牢固、靈活之目的。同時，行之有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性和深刻性。

數(shù)學(xué)歸納法范文第4篇

常見錯誤之一：初始值代入出錯。

例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明， n邊形對角線的條數(shù)為■ （n≥3，且n∈N）

證明:（1）當(dāng)n=1時，一邊形不存在，對角線就不能確定為多少條。此時，將n=1代入對角線的條數(shù)表達(dá)式中有，對角線的條數(shù)為■=-1，至此，數(shù)學(xué)歸納法的第一步無法完成。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立 。如圖，即k邊形 A1A2A3…Ak的對角線的條數(shù)是■。

于是當(dāng)n=k+1時，多邊形為（k+10）邊形A1A2A3…Ak+1，比k邊形多一個頂點(diǎn)Ak+1，圖中畫出了增加的對角線，分析知，增加的對角線的條數(shù)是點(diǎn)Ak+1與點(diǎn)A2 A3…Ak-1 的連線（有k-2條連線）和點(diǎn)A1與點(diǎn)Ak的連線。共增加了[（k-2）+1]條。

（k+1）邊形A1A2A3…Ak+1的對角線總條數(shù)為■+[（k-2）+1]=■=■。故當(dāng)n=k+1時，命題成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知命題成立。

以上例題證明的第一步是初始值代入出錯應(yīng)取n=3時進(jìn)行驗證:顯然當(dāng)n=3時，三角形沒有對角線，將n=3代入對角線的條數(shù)表達(dá)式中有■=0，命題成立。再結(jié)合證明的第二步，就是此例的完美的數(shù)學(xué)歸納法的證明。

上述例題說明，利用數(shù)學(xué)歸納法證題的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值應(yīng)是結(jié)論有意義的最小正整數(shù)。因此，證題前要認(rèn)真審題，確定是n∈N還是 n≥n0（n∈N）。

常見錯誤之二，不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的原則。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1） （n∈N）

證明：

（1）當(dāng)n=1時，左邊=3，右邊=3，所以當(dāng)n=1時命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即

3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）

當(dāng)n=k+1時， 3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

所以當(dāng)n=k+1時命題成立。

根據(jù)（1）、（2）可知，等式對一切n∈N成立。

上述利用數(shù)學(xué)歸納法證題的第二步?jīng)]有用到歸納假設(shè)，其推理過程不是在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，第二步的正確證明方法是：

假設(shè)n=k時命題成立，即

3+7+……+（4k-1） = k（2k+1）。

則當(dāng)n=k+1時，3+7+……+（4k-1）+ （4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

即當(dāng)n=k+1時命題也成立。

這里指出：用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟缺一不可，盡管有的與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以觖決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須依題目的要求嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明，特別是在第二步證明中對歸納假設(shè)“設(shè)而不用”，那就不正確。

不符合用數(shù)學(xué)歸納法證題的原則要求，因而證明不算數(shù)學(xué)歸納法。

常見錯誤之三：沒有嚴(yán)格的邏輯推證。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

■+■+……+■=■（n∈N）

證明：（1）當(dāng)n=1時，左端■=■=右端，等式成立。

（2）假設(shè)n=K時，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是當(dāng)n=k+1時，有■+■+……+■=■，故n=k+1時，原等式成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知等式對一切n∈N均成立。

上述證明從表面上看與數(shù)學(xué)歸納法相符合。而數(shù)學(xué)歸納法原理的第2步是保證一系列命題——“傳遞性”成立的關(guān)鍵，必須給予嚴(yán)格的證明。但此例證明過程中的第2步形式套用數(shù)學(xué)歸納法原理的第2步，沒有給予嚴(yán)格的邏輯推證，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法原理的要求。

常見錯誤之四：錯誤理解歸納假設(shè)。

例如，已知n個正數(shù)a1、a2，……，an且a1·a2，……，an =1，試證：a1+a2+……+an≥n。

證明：（1）n=1時，顯然有a1≥1。

（2）假設(shè)n=k時，命題成立，則n=k+1時， a1·a2……ak ak+1=1， a1，a2……ak+1中必有一個不小于1，不妨設(shè)ak+1≥1，于是 a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由歸納假設(shè) a1+a2+……+ak≥k， a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故當(dāng)n= k+1時，命題成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切n∈N原命題成立。

上述證明過程表面上看起來沒有什么問題，但是第2步的證明過程中所用歸納假設(shè)的結(jié)論a1+a2+……+an≥k是有條件的，必須 a1·a2……ak=1，而 a1·a2……ak ak+1=1及ak+1≥1并不能保證a1·a2……ak=1，從而未必有結(jié)果a1+a2+……+an≥k成立，而此題的第2步在推理過程中正應(yīng)用了這個不可靠的結(jié)果，因而證明錯誤。

常見錯誤之五：由n= k表達(dá)n= k+1時表達(dá)式之間關(guān)系出錯。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

■+■+■+……+■＞■（n≥2）

在數(shù)學(xué)歸納法的第2步的證明中，若設(shè)f（n）=■+■+■+……+■，則f（k+1） =■+■+■+……+■= f（k）+■，從而正確地證明結(jié)論。產(chǎn)生以上錯誤的原因是未能把握f（n）右式中各項間規(guī)律，右式是一個數(shù)列若干項的和，每項的分子均為1，分母是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列。

數(shù)學(xué)歸納法范文第5篇

關(guān)鍵詞： 拉姆塞定理；歸納法公理；演繹法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2012）02-0160-02

數(shù)學(xué)歸納法是一種十分重要的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用此法可以解決很多難題，下題是圖論中著名的拉姆塞定理的特殊情形。

給出平面上n個點(diǎn)，每兩點(diǎn)連接一條邊，得到C2n 條邊；這n個點(diǎn)和C2n條邊構(gòu)成n階完全圖kn，把kn的邊染色使得每條邊都要染色，而且只能染紅色或藍(lán)色，對于如何異于1的自然數(shù)p,q,無論kn的邊怎樣染色，n至少應(yīng)該多大，才能使染色的結(jié)果必有一個全部邊都是紅色的Kp或者有一個全部邊都是藍(lán)色Kq？如果這個最小數(shù)存在，就記為R(p,q). R(p,q)叫拉姆塞數(shù)。

這個著名定理的證明用的就是數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法是一種十分重要的數(shù)學(xué)方法，它的根據(jù)使歸納法公理，若數(shù)集N包含1，而且若自然數(shù)k∈ N,則必定有k+1∈ N,那么N就是自然數(shù)集。數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是演繹法，而不是歸納法。

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明某一命題P，第一步，檢驗初值，n=1時，P成立。第二步，提出歸納法假設(shè)，設(shè)對于某個n值，P成立，證明n+1時P亦成立，通過兩次證明，就證明了不論n為任何自然數(shù)，P成立。

例1：對怎樣的自然數(shù)n，以下不等式成立:

(A)2n2n+1 (1)

(B)2nn2 (2)

解：（A）若n=1，2

若n=2，4

若n=3，8>7，（1）成立。（初值為3，不是1）

假設(shè)有某個整數(shù)n≥3，使（1）成立。（歸納法假設(shè)，往證2n+1>2(n+1)+1）

2n+1=2×2n=2n+2n>2n=2n+2n+1=2n-2+2(n+1)+1，

當(dāng)n≥3時，2n-2>0，2n+1>2(n+1)+1

即n+1時，（1）亦成立 （第二步證明）

依數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n≥3時，（1）式成立

（B）令n=1，代入（2）知（2）成立。

分別令n=2,3,4，代入（2）知（2）不成立。

令n=5，代入（2）知（2）成立。（5為初值）

假設(shè)有某個整數(shù)n≥5，使（2）成立，（歸納法假設(shè)，往證2n+1>（n+1）2）

2n+1=2×2n=2n+2n>n2+2n>n2+2n+1 （依（1））

故2n+1>(n+1)2，即n+1時，（2）亦成立，依數(shù)學(xué)歸納法，n≥5時 ,(2)成立，故知使（2）成立的n值為1和大于或等于5的一切整數(shù)值。

數(shù)學(xué)歸納法的第二步假設(shè)有某個命題成立，論證n+1亦使命題成立，這是基本形式?？梢园鸭僭O(shè)改為：有某個n∈ N，使對于一切小于或等于n的自然數(shù)，命題成立，如下例：

例2：設(shè)S=x+1x ，求證xn+1xn 必可表為S的多項式（n為任何自然數(shù)）

證明：若n=1，1x=s，命題成立。

假設(shè)有某個n∈ N，使對于≤n的一切自然數(shù)，命題成立，（這是歸納假設(shè)，即假設(shè)1x ，x2+1x2 ,…，xn+1xn 等式都可以表示為S的多項式，論證xn+1+1xn+1 也可以表示為S的多項式）因為，xn+1+1xn+1 =（xn+1xn）（x+1x ）－（xn-1+1xn-1 ）,依歸納法假設(shè)，xn+1xn ,x+1x ,xn-1+1xn-1 都可以表示為S的多項式，故 xn+1+1xn+1也可以表示為S的多項式。依數(shù)學(xué)歸納法，證得不論n為任何自然數(shù)，xn+1xn 必可表為S的多項式。上面證法的推導(dǎo)過程可用圖表示如下：

1(1 2)(1,23)(1,2,34)(1,2,3,45)… … …

圖上顯示可以得到任何自然數(shù)。

從上例，可見題目求證的公式或有確定的表達(dá)形式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的困難不是很大。否則，既要找到表示形式，又要用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論，那就困難的多了，而且主要的困難在于前者，即探索結(jié)論的表示形式，如下例：

例3：設(shè)平面上有n條直線，每2條直線必相交，而且無3條直線共點(diǎn)（簡稱為在一般位置）分平面為a2(n)個部分，求a2(n)。

探索：若平面上沒有直線，只有整個平面a2(0)=1，若平面上有一條直線，分平面為兩部分，a2(1)=2，若平面上有兩條直線相交，分平面為4個部分，a2(2)=4，若平面上3直線在一般位置，分平面為7部分，a2(3)=7，考慮到7=C03 +C13 +C23 （Crn 表n物取r的組合數(shù)，且有補(bǔ)充定義 C03=1，C00 =1，以及 Crn=0，若r>n），而且1,2,4分別表示為：

a2(0)=1=C00 +C10 +C20

a2(1)=2=C01 +C11 +C21

a2(2)=4=C02 +C12 +C22

因而可以猜想，

a2(n)=C0n +C1n +C2n （1）

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）

證：若n=0，（1）成立。

假設(shè)有某個非負(fù)數(shù)n使（1）成立（這是歸納法假設(shè)）往證：

a2(n+1)=C0n+1 +C1n+1 +C2n+1 （2）

平面上在一般位置的n條直線分平面為a2(n)個部分，添加第n+1條直線，構(gòu)成在一般位置的n+1條直線。這條第n+1條直線與原n條直線有n個交點(diǎn)；這第n+1條直線被分為n+1段，每一段把原來n條直線所分出的一部分分為2部分，既增加一個部分，故第n+1條直線使原來a2(n)個部分添加n+1個部分，因此：

a2(n+1)=a2(n)+n+1

因為n+1=1+n=C0n +C1n

且依（1）

a2(n+1)= C0n +C1n + C2n+C0n +C1n

=C0n+(C1n +C0n)+(C2n +C1n )

=C0n+1 +C1n+1+C2n+1

這就是(2)，故依數(shù)學(xué)歸納法，不論n為任何非負(fù)整數(shù)，（1）恒成立。

以上兩個例子使用第一歸納法證明的；還有一種證明方法叫第二數(shù)學(xué)歸納法：如果關(guān)于自然數(shù)n的某個命題P(n)具備如下條件：

(1)P(1)真；

(2)k∈ N,n

在數(shù)學(xué)歸納法證明中，試驗P(1)成立是歸納法的基礎(chǔ)，第二步P(k)P(k+1)是前一個命題真得出后繼命題真的依據(jù)，這兩步缺一不可，只有在這兩步都完成后，才能根據(jù)第一、第二歸納法得出n ∈N，P(n)真的結(jié)論。

以上介紹的是數(shù)學(xué)歸納法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法作為一種嚴(yán)格的推理方法，也廣泛應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)的證題中。

如引入中有關(guān)圖論問題的拉姆賽定理的證明。

證明：因為紅藍(lán)兩色可以對換，故若R(p,q)存在，則必有R（p,q）=R(q,p) （1）

若p=2，k2就是一條邊，這就是紅k2，否則，如果沒有紅邊，既全部邊都是藍(lán)色的，kq就藍(lán)kq，

故R(2,q)=q （2）

圖（1）

依(1)可知

R(p,2)=p （3）

考慮p=3，q=3的情況，可以證明k3的邊染色，不能保證必有一個紅k3（三角形），或者必有一個藍(lán)k3，如圖（1）（紅邊為實(shí)邊，藍(lán)邊為虛邊）所示，染色的結(jié)果既沒有一個紅三角形，也沒有一個藍(lán)三角形。但可以證明k6的染色，一定會有一個紅三角形，或者有一個藍(lán)三角形，如圖（2），設(shè)P為頂點(diǎn)，P與另外5個頂點(diǎn)連接為5邊，染色之后，（A）可能至少有3條紅邊，即至多有2條藍(lán)邊，（B）也可能至少有3條藍(lán)邊，即至多有2條紅邊，對于（A），設(shè)PA，PB，PC三邊都是紅邊，若ABC有紅邊，設(shè)為AB，則PAB為紅三角形；若ABC無紅邊，它就是藍(lán)三角形，對于（B）只需把（A）的證明中紅藍(lán)兩色對換，便得出了必有紅三角形或必有藍(lán)三角形的結(jié)論?？傊徽搆6的邊怎么染色，必有一個紅三角形或必有藍(lán)三角形，故R(3,3)=6。

這是數(shù)學(xué)歸納法用于圖論中的例子。

圖（2）

下面再看數(shù)學(xué)歸納法用于高代的例子。

例4：設(shè)V1，V2，V3，…，Vs是線性空間V的s個非平凡的子空間，證明：V中至少有一個向量不屬于V1，V2，…，Vs中的任何一個。

證明：對s用數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)s=2時，因為V1是非平凡子空間，故存在α V1，如果α V2，結(jié)論成立；如果α ∈V2，則由V2也是非平凡子空間，故存在β V2，若β V1，則結(jié)論已成立；若β V1，則

α V1，β∈ V2，α∈ V2，β V2 ①

于是用反證法可證α+β V1，α+β V2，事實(shí)上，若α+β∈ V1，又β∈ V1，這與①矛盾，

故α+β V1，同理證明α+β V2。

故當(dāng)s=2時，結(jié)論成立。

假定對s-1個非平凡的子空間結(jié)論成立，即在v中存在向量α，使α Vi，i=1，2，…，s-1，對第s個子空間Vs，若α Vs，結(jié)論成立；若α ∈Vs，則由于Vs為非平凡子空間，故存在β Vs，于是對任意數(shù)k，向量k*α+β Vs（如果kα+β∈ Vs，β=（kα+β）-kα∈ Vs與β V1中s矛盾），且對于不同的數(shù)k1，k2，向量k1α+β，k2α+β不屬于同一個Vi（1≤i≤s-1）（如果k1α+β，k2α+β屬于同一個Vi，則（k1α+β）-（k2α+β）=（k1-k2）α∈ Vi，得α∈ Vi與α Vi矛盾）。

令取s個互不相同的數(shù)k1，k2，…，ks，則s個向量

k1α+β，k2α+β，…ki-1α+β，ksα+9β

至少有一個不屬于V1，V2，…，Vs-1，這樣的向量即滿足要求。

綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法是十分重要的數(shù)學(xué)證明方法，仔細(xì)體會本文中例題，熟悉數(shù)學(xué)歸納法的用法和證明技巧。要抓住數(shù)學(xué)歸納法中關(guān)鍵步驟：（1）驗證n=1時結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確，兩個步驟缺一不可。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》華南師大數(shù)學(xué)系《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》編輯部 2001.1.10出版 總第229期