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初二數(shù)學(xué)競賽題范文第1篇

關(guān)鍵詞：完全平方公式；數(shù)學(xué)競賽；推廣公式

由兩個基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2，我們可以推廣得到以下一組公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

靈活選用以上公式，可以簡單、快速地求解一些競賽題，下面請看一些例子.

例1.有3個正整數(shù)a，b，c，且a>b>c，從中任取2個有3種不同的取法，將每種取法取出的2個數(shù)分別作和與作差，得到如下6個數(shù)：42，45，64，87，109，151，則a2+b2+c2=（ ）（2013“希望杯”初二第2試）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本題是求三個整數(shù)的平方和，且題目給出了三個數(shù)中任意兩個的和與差，滿足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正確選項(xiàng)為C.

評注：通過以上解析過程可以發(fā)現(xiàn)，此解法根本不需要a，b，c為正整數(shù)及a>b>c這兩個條件，事實(shí)上，只要知道這三個數(shù)中任意兩個的和與差即可求出它們的平方和。出題者可能是考慮到有些學(xué)生可能想不到這個公式，因此加上這兩個條件，引導(dǎo)學(xué)生從三個整數(shù)的大小關(guān)系入手，結(jié)合作和與作差所得的6個整數(shù)進(jìn)行邏輯分析，求出a，b，c的值，然后代入計(jì)算得出答案。雖然也能得到正確解答，但是如果能從整體上把握題目特征，利用變形公式求解，就顯得簡單、明快.

例2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知條件聯(lián)想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后獲得解題思路.

解：a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

ab+bc+ac=0，從而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

abc=-112.

評注：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件聯(lián)想到公式，然后構(gòu)造相關(guān)代數(shù)式求解.把此題稍加改變，就得到下面這道競賽題：

例3.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，則a3+b3+c3= .（18屆“華杯賽”初一）

分析：由已知條件聯(lián)想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，從而求出a2+b2+c2，然后再構(gòu)造代數(shù)式a3+b3+c3求解.

解：a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

a2+b2+c2=4，

從而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

a3+b3+c3=2×4-3=5.

評注：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件想到推廣公式（1），構(gòu)造出所要求的代數(shù)式。以上兩例本質(zhì)上是一樣的，事實(shí)上，稍加分析以上兩題解答過程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四個代數(shù)式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三個的值，可以求出另外一個的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初二年級競賽）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

評注：本題考查對推廣公式的靈活運(yùn)用。

初二數(shù)學(xué)競賽題范文第2篇

關(guān)鍵詞：培優(yōu) 扶困

當(dāng)今,在新課改背景下,初中數(shù)學(xué)教育和教學(xué)質(zhì)量普遍提高;然而,同一班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績存在著較為嚴(yán)重的兩極分化現(xiàn)象且日益顯現(xiàn),尤其在初級中學(xué)數(shù)學(xué)教育和教學(xué)中,表現(xiàn)得較為突出;班級的后進(jìn)生比例逐步擴(kuò)大,在初二年級開始出現(xiàn),特別在初三年級表現(xiàn)尤為突出,這種狀況直接影響著班級數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高。

一、明確培優(yōu)扶困的意義和作用

培優(yōu)扶困是初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的一個重要環(huán)節(jié),是使數(shù)學(xué)教學(xué)適應(yīng)學(xué)生個別差異、貫徹因材施教原則的一個重要措施。培優(yōu)就是對學(xué)有余力的、學(xué)習(xí)成績比較突出或有數(shù)學(xué)天賦和潛質(zhì)的學(xué)生,通過有目的、有計(jì)劃、有組織的輔導(dǎo)和培訓(xùn),使他們的學(xué)業(yè)成績更加優(yōu)秀、專長得到進(jìn)一步的發(fā)展,成為具有創(chuàng)新能力的新一代人才;扶困就是對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難且學(xué)習(xí)成績和學(xué)習(xí)能力偏差或個人身心、品德、行為較差的學(xué)生通過有目的、有計(jì)劃、有組織的輔導(dǎo)和幫助,使他們能夠身心健康,學(xué)習(xí)成績不斷進(jìn)步,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,提高他們的學(xué)習(xí)能力,逐步養(yǎng)成較好的生活和行為習(xí)慣。通過培優(yōu)扶困,我不僅可以鞏固和提高學(xué)生在課堂上所學(xué)知識,及時發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)有數(shù)學(xué)天賦和潛質(zhì)的學(xué)生;同時通過培優(yōu)扶困,我還從多種渠道獲得了各類學(xué)生的反饋信息,及時發(fā)現(xiàn)、反饋教育和教學(xué)中優(yōu)勢與不足,并及時不斷地加以改進(jìn)、不斷地提高,這對于自身的數(shù)學(xué)教育和教學(xué)起到了很好的促進(jìn)作用,對我的教學(xué)水平的提高也是一副很好的催化劑。

二、和諧、融洽的師生關(guān)系,是做好培優(yōu)扶困工作的劑

數(shù)學(xué)教學(xué)工作是一種多層次、多因素的比較復(fù)雜的工作。雖然它與相鄰學(xué)科的教學(xué)工作有許多共同之處,但數(shù)學(xué)教學(xué)還具有自己獨(dú)特的教學(xué)規(guī)律和理論體系。因此,開學(xué)初,我根據(jù)所教兩個班級的學(xué)生數(shù)學(xué)成績及思想表現(xiàn)情況,精心選擇確定好培優(yōu)扶困的對象,并制定出具體的培優(yōu)扶困計(jì)劃和措施。

我積極主動地做好思想方面的培扶教育,我十分注重與學(xué)生交朋友,深入細(xì)致地了解和關(guān)心他們的學(xué)習(xí)與生活,洞察學(xué)生的生理、心理,尤其是思想上的變化及波動情況,及時幫助他們解決學(xué)習(xí)上的困難和成長過程中產(chǎn)生的一些困惑,抑制了學(xué)生思想上的一些不良觀念;讓他們從內(nèi)心中感覺到老師一直像自己的親生父母在一樣關(guān)心和愛護(hù)著他們,從而從心理上接受、信任和佩服我;特別是學(xué)困生,他們對學(xué)習(xí)缺乏興趣,對自己缺乏信心,因此我經(jīng)常利用課外時間與他們談心,關(guān)愛他們的身心健康、關(guān)注他們的健康成長,想盡一切辦法激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性;充分挖掘他們身上的閃光點(diǎn),一有進(jìn)步就對他們進(jìn)行表揚(yáng)、鼓勵和鞭策,發(fā)揮他們自身的優(yōu)勢和潛能,讓他們在同學(xué)之間找回屬于自己的那份自信。

三、將培優(yōu)扶困滲透于課堂教學(xué)之中

我不斷地更新教育理念,端正教學(xué)思想;用發(fā)展的眼光客觀而又公平地看待每一位學(xué)生,既關(guān)注優(yōu)秀生,更關(guān)注學(xué)困生。根據(jù)班級學(xué)生的實(shí)際情況,采取分層教學(xué)的方式,既保護(hù)中等的學(xué)生、又兼顧兩頭的學(xué)生,對待優(yōu)生及學(xué)困生,特別給予關(guān)注,多提問、多督促,讓他們多思考,以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性,做課堂練習(xí)時,及時發(fā)現(xiàn)他們掌握知識的過程中存在的問題,及時解決;同時,對于不同層次的學(xué)生提出不同的要求,有的放矢,使他們各自盡情發(fā)揮、各得其所,優(yōu)生能夠更上一層樓,向更高峰邁進(jìn)!學(xué)困生也能夠循序漸進(jìn)、將所學(xué)的知識及時消化和掌握,以鼓勵、欣賞、激勵的方法,肯定他們?nèi)〉玫囊稽c(diǎn)一滴的進(jìn)步,培養(yǎng)了他們的自信心,激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性,增強(qiáng)了他們學(xué)好數(shù)學(xué)的勇氣和力量。

四、將培優(yōu)扶困滲透于課外輔導(dǎo)及作業(yè)批改之中

學(xué)生的素質(zhì)是有差異的,對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握程度也是參差不齊的,因此我在課外輔導(dǎo)中貫徹因材施教的原則,對于數(shù)學(xué)成績較好的學(xué)生,通過個別輔導(dǎo),強(qiáng)化他們對數(shù)學(xué)的興趣與愛好;課外作業(yè),鼓勵他們一題多解,尋求最佳解題途徑,償試寫出解題心得體會;對于數(shù)學(xué)有特長的學(xué)生,有目的、有計(jì)劃地培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)理解能力,指導(dǎo)他們多看課外書籍,多答辯一些競賽題,以拓廣他們的知識視野。

對于數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生,也采取個別輔導(dǎo)的方式,以增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們提出的問題,我都耐心細(xì)致地給予解答,并與他們一起分析問題的癥結(jié)所在,是屬于知識的問題還是技能方面的問題,協(xié)助他們一起制定出詳細(xì)可行的學(xué)習(xí)計(jì)劃,并做好跟蹤督促工作。作業(yè)面批面改,結(jié)合作業(yè)中的出現(xiàn)問題,及時查漏補(bǔ)缺;在每次作業(yè)的后面,針對每個學(xué)生作業(yè)的具體情況,我都會附上信手拈來的微型評語,如: “有進(jìn)步”、“沒有人敢忽視你”、“這才是真正的你”,“看你的作業(yè)是一種享受”,“思路獨(dú)特,有創(chuàng)造性”,“字要能工整一些就更好”……小小的幾字評語,往往能起到“四兩拔千斤” 的作用,讓學(xué)生看到自己的優(yōu)缺點(diǎn),激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性,對于提高培優(yōu)扶困的效果起到了很好的催化劑的作用。

五、舉辦數(shù)學(xué)講座,拓寬學(xué)生知識視野;同學(xué)互助,共同進(jìn)步